单选题 （共 40 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x), \varphi(x)$ 在点 $x=0$ 的某邻域内连续，且当 $x \rightarrow 0$时， $f(x)$ 是 $\varphi(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x f(t) \sin t \mathrm{~d} t$ 是 $\int_0^x t \varphi(t) \mathrm{d} t$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶但不等价的无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷小
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
$\text{A.}$ $x f\left(x^2\right)$
$\text{B.}$ $-x f\left(x^2\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $-x f\left(x^2\right)$
设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 均为非负数列，
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\mathbf{0}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=1, \lim _{n \rightarrow \infty} c_n=\infty \text {. }
$$
则必有
$\text{A.}$ $a_n < b_n$ 对任意 $n$ 成立
$\text{B.}$ $b_n < c_n$ 对任意 $n$ 成立
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot c_n$ 的极限不存在
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n \cdot c_n$ 的极限不存在
设 $f(x)$ 为连续函数， $F(t)=\int_1^t \mathrm{~d} y \int_y^t f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$
$\text{B.}$ $f(2)$
$\text{C.}$ $-f(2)$
$\text{D.}$ 0
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量
$$
\alpha=\int_0^x \cos t^2 \mathrm{~d} t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 \mathrm{~d} t ，
$$
排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都收敛
$\text{B.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 与 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 都发散
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 收敛， $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x(x+1)}$ 发散
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令 $u_n=f(n)(n=1,2, \cdots)$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{B.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
$\text{C.}$ 若 $u_1 < u_2$, 则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{D.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界， $\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界， $\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
设有两个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散
设 $\left\{a_n\right\}$ 单调减少， $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0, S_n=\sum_{k=1}^n a_k(n=1,2, \cdots)$无界，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 的收敛域为
$\text{A.}$ $(-1,1]$
$\text{B.}$ $[-1,1)$
$\text{C.}$ $[0,2)$
$\text{D.}$ $(0,2]$
设 $\left\{u_n\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}}, 1 < x < e \\ \frac{1}{x \ln ^{\alpha+1} x}, x \geq e\end{array}\right.$, 若反常积分 $\int_1^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则
$\text{A.}$ $\alpha < -2$
$\text{B.}$ $\alpha>2$
$\text{C.}$ $-2 < \alpha < 0$
$\text{D.}$ $0 < \alpha < 2$
若函数 $\int_{-\pi}^\pi\left(x-a_1 \cos x-b_1 \sin x\right)^2 \mathrm{~d} x$
$$
=\min _{a, b \in \mathrm{R}}\left\{\int_{-\pi}^\pi(x-a \cos x-b \sin x)^2 \mathrm{~d} x\right\} \text {, }
$$
则 $a_1 \cos x+b_1 \sin x=$
$\text{A.}$ $2 \sin x$
$\text{B.}$ $2 \cos x$
$\text{C.}$ $2 \pi \sin x$
$\text{D.}$ $2 \pi \cos x$
下列级数中发散的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$
$\text{C.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$
级数为 $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)(k$ 为常数 $)$ ，则该级数
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 有关
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^{x^2}\left(e^{t^3}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $x^7$ 的（）
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 等价无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处 ( )
$\text{A.}$ 连续且取极大值
$\text{B.}$ 连续且取极小值
$\text{C.}$ 可导且导数等于 0
$\text{D.}$ 可导且导数不为 0
设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a>0)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $(0, e)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{e}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$
已知 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
1、当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题:
(1) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ；
(2) 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
(3) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$ ；
(4) 若 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.
其中所有真命题序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(4)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (2)(3)(4)
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜斩近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
已知函数 $f(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数
函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，给出以下三个命题:
(1) 若 $\int_0^{+\infty} f^2(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
(2) 若存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(3) 若 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在.其中真命题的个数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+n x^{2 n}}$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都连续
$\text{B.}$ 在 $x=1$ 处连续， $x=-1$ 处不连续
$\text{C.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都不连续
$\text{D.}$ 在 $x=1$ 处不连续， $x=-1$ 处连续
设 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ $\pi$.
$\text{B.}$ $-\pi$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{\pi}$.
$\text{D.}$ $-\frac{1}{\pi}$.
设当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，已知函数 $y=x^2 \ln x$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=$ $\varphi\left(\frac{1}{\ln x}\right) \Delta x+\alpha$, 则 $\varphi(u)=(\quad)$
$\text{A.}$ $(2 u+1) e^u$.
$\text{B.}$ $(2 u-1) e^u$.
$\text{C.}$ $\left(\frac{2}{u}+1\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{u}}$.
$\text{D.}$ $\left(\frac{2}{u}-1\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{u}}$.
设 $f(x)$ 连续二阶可导, 且 $f(0)=2$, 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 f'(x)-2}{\ln (1+x)-x^2}=2$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极大值 2
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极小值 2
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处不取极值
$\text{D.}$ $(0,2)$ 为 $y=f(x)$ 的拐点
设 $f(x)=\int_0^x \ln \left(1+t^3\right) \mathrm{d} t, g(x)=x^2$. 若当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小, 而当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $\frac{1}{g(x)}$ 是 $\frac{1}{f(x)}$ 的高阶无穷小, 则常数 $\alpha$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(0,3)$.
$\text{B.}$ $(1,3)$.
$\text{C.}$ $(0,4)$.
$\text{D.}$ $(1,4)$.
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$, 讨论函数 $f(x)$ 的间断点, 其结论为
$\text{A.}$ 不存在间断点.
$\text{B.}$ 存在间断点 $x=1$.
$\text{C.}$ 存在间断点 $x=0$.
$\text{D.}$ 存在间断点 $x=-1$.
设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义, $f(x)$ 为连续函数, 且 $f(x) \neq 0$, $\varphi(x)$ 有间断点, 则
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点.
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点.
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 必有间断点.
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点.
设 $f(x)=\int_0^{|\sin x|} e ^{t^2} d t, g(x)=\int_0^{|x|} \sin t^2 d t$, 则在 $(-\pi, \pi)$ 内,
$\text{A.}$ $f(x)$ 是可导的奇函数.
$\text{B.}$ $g(x)$ 是可导的偶函数。
$\text{C.}$ $f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在。
$\text{D.}$ $g(x)$ 是偶函数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在.
当 $x \rightarrow 0$ 时, $a \int_0^{x^2} \cos t^2 d t$ 与 $\sin x-b \ln (1+x)$ 是等价无穷小, 则 $(a, b)=$
$\text{A.}$ $(1,2)$.
$\text{B.}$ $(-1,2)$.
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{D.}$ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$.
设 $b>0>a$, 则
$\text{A.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right)>b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{B.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right) < b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{C.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right)>a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{D.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right) < a e ^b\left( e ^a-1\right)$.