单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小量中与 $x$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $\ln (1+2 x)$
$\text{B.}$ $1-\cos x$
$\text{C.}$ $e^x-1$
$\text{D.}$ $\sqrt{1+x}-1$
下列等式中，正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{x}{\min x}}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{\operatorname{mix}}{x}}=1$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{x}{\sin x}}=e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{\sin x}{x}}=e$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续，但不可导
$\text{B.}$ 间断
$\text{C.}$ 可导，且 $\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{0})=\mathbf{0}$
$\text{D.}$ 可导，且 $\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{0})=1$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}} & x \neq 0 \\ 1 & x=0\end{array}\right.$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的一个
$\text{A.}$ 跣跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
下列各组函数中，是相同函数的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$
$\text{B.}$ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 和 $y=x+1$
$\text{C.}$ $f(x)=x$ 和 $g(x)=x\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=\ln x^2$ 和 $g(x)=2 \ln x$
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x \rightarrow \infty$ 时都是无穷大，则 $f(x)+g(x)$ 无界．
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内不一定有界．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 存在， $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)$ 一定不存在．
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 是 $x \rightarrow a$ 时的无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是 $x \rightarrow a$ 时的无穷大．
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列哪一个无穷小是对于 $x$ 的三阶无穷小？
$\text{A.}$ $x^3+0.0001 x^2$
$\text{B.}$ $\sqrt{2+x^3}-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt[3]{\tan x}$
$\text{D.}$ $\sqrt[3]{x^2}-\sqrt{x}$
函数 $f(x)=\frac{(x-1) \sin x}{|x|\left(x^2-1\right)}$ 的第二类间断点的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \sin \frac{1}{x}, x>0 \\ \ln \left(a+x^2\right), x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $a=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1／e
$f(x)=\sin \left(x^2-x\right)$ 是
$\text{A.}$ 有界函数；
$\text{B.}$ 周期函数；
$\text{C.}$ 奇函数；
$\text{D.}$ 偶函数．
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^2}=$
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+3 k}=$
设当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{3}}-\mathrm{e}^{\frac{x^2}{3}}$ 为 $p$ 阶无穷小，则 $p=$
设当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，则 $a=$ ，$b=$
已知 $\left.\lim _{x \rightarrow( } \frac{x^2+1}{x+1}-x+b\right)=2$ ，则常数 $b=$
如果函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{3-x}}+\lg (x-2)$ ，则函数 $g(x)=f\left(x+\frac{1}{3}\right)+f\left(x-\frac{1}{3}\right)$ 的定义域是
已知 $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-2 x+k}{x-3}=4$ ，则 $k=$
函数 $f(x)=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}+e\right) \tan x}{x\left(e^{\frac{1}{x}}-e\right)}$ 的第一类间断点是
函数 $f(x)=\ln \frac{x}{x-1}+\arcsin \frac{x}{2}$ 的定义域为
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \mathrm{e}^{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t+\cos x-1}{x \tan x}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-x \sin \frac{2}{x}\right)=$
设 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=2014$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln g(x)}=$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x \ln (1+x)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin (x-\sin x)}{1-\cos (1-\cos x)}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(e-1-t)^2 d t}{x \sin ^4 x}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[e^{\frac{1}{x}}-x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{4 x}}{\sin 3 x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x-\min }-1}{\sqrt{1+x^3}-1}$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}-1}\right)$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}$ ．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-4 x^2\right)}{x}, & x>0 \\ a x+b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处可导，求常数 $a, b$ 的值．
判断函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2 x+e^{3 x}\right)^{\frac{1}{x}}$
已知连续函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x)=\int_0^{3 x} f\left(\frac{t}{3}\right) d t+e^{2 x}$ ，求 $f(x)$
（1）写出 $f(x)=\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶带佩亚诺（Peano）余项的泰勒公式．
（2）计算极限
$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\left[2(1+x)^{\frac{1}{x}}+\mathrm{e}(x-2)\right]
$$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \sin ^2 x}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $e^{a_n}=a_n+e^{b_n}$ ，其中 $0 < a_n < \frac{1}{n^2}$ ．
证明：（1） $0 < b_n < \frac{3 a_n^2}{4}$ ；
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\cdots+\frac{b_n}{a_n}\right)$ 存在．