单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时， $f(1 / 2) < 0$
设 $f(t)=\int_t^{2 t} d x \int_x^t e ^{(x-y+1)^2} d y$, 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)}{t^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{ e }{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{ e }{2}$.
$\text{C.}$ 2 e .
$\text{D.}$ -2 e .
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则 ()
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 满足 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0$, 又 $0 < a < b$, 则当 $a < x < b$ 时，恒有（）
$\text{A.}$ $a f(x)>x f(a)$
$\text{B.}$ $x f(x)>a f(a)$
$\text{C.}$ $x f(x)>b f(b)$
$\text{D.}$ $b f(x)>x f(b)$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t,\end{array}\right.$ 参数为 $t$ ，则 $\left.\frac{ d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\pi$
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，下列结论成立的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ 且 $f^{\prime}(0)=0$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极小值，点 $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设函数 $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{|\cos x|}=1$ ，则（）
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f^{\prime}(x)=1$ ．
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处可导．
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的左导数为 1 ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的右导数为 1 ．
填空题 （共 13 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\ln \left(x+\frac{1}{x}\right)$ ，求 $y^{\prime}$
设 $f(x)=\frac{e^x \arctan x}{x}$ ，求 $f^{\prime}(x)$
已知 $f(x)$ 是可导的单调递减函数，且 $f(x)>0$ ，记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ．
（1）证明：当 $a>0$ 时，若 $x \in(0, a)$ ，有 $\frac{x}{a} F(a) < F(x) < f(0) x$ ；
（2）若 $f(0) < 1$ ，记 $x_1 \in(0, a), x_{n+1}=F\left(x_n\right), n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有一阶连续导数，且在开区间内一点 $c \in(a, b)(c>0)$ 处与直线 $y=$ $k$ 相切．证明：$\exists \eta \in(a, b)$ 且 $\eta \neq c$ ，使得 $f^{\prime}(\eta)+2 \eta[f(\eta)-f(b)]=0$ 。
已知函数 $f(x)$ 有任意阶导数，满足 $f^{\prime \prime}(x)-2 f(x)=x^{2021} \cos x$ ，其中 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=$ 0 ，则 $f^{(2023)}(0)=$
函数 $f(x)=x^3+3 x^2-9 x$ 的凹区间为
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\tan x-x$ 是与 $x^n$ 同阶的无穷小，则 $n=$
设 $y=\frac{1}{2} \arctan \frac{2 x}{1-x^2}$ ，则 $\frac{ d y}{d x}=$
设 $y=\sqrt[x]{x}, x>0$ ，则 $y^{\prime}=$
函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right),\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{4}\right)$ 的最小值是
设 $f(x)$ 的一个原函数是 $\frac{1}{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
$y=x \ln \left( e +\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为
设连续函数 $f(x)$ 满足 $2 \int_1^x f(t) d t=x f(x)+x^2$ ，则 $f^{\prime}(1)=$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, 且满足条件 $|f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$, 其中 $a, b$ 都是非负常数, $c$ 是 $(0,1)$ 内任意一点.
(1) 写出 $f(x)$ 在点 $x=c$ 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
(2) 证明 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a+\frac{b}{2}$.
求函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ 在 $x=0$ 点处带拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒展开式.
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且
$$
\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0 .
$$
试证：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$.
设函数 $S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ :
(1) 当$n$为正整数，且$n \pi \leq x < (n+1) \pi$ 时，证明
$$
2 n \leq S(x) < 2(n+1) ;
$$
(2) 求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某领域内具有一阶连续导数，且 $f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，若 $a f(h)+b f(2 h)-f(0)$ 在 $h \rightarrow 0$时是比 $h$ 高阶的无穷小，试确定 $a, b$ 的值.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个领域内有二阶连续导函数，且
$$
f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0 .
$$
证明: 存在惟一的一组实数 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，使得当 $h \rightarrow 0$ 时，
$$
\lambda_1 f(h)+\lambda_2 f(2 h)+\lambda_3 f(3 h)-f(0)
$$
是比 $h^2$ 高阶的无穷小.
函数 $y=2^x$ 的麦克劳林公式中 $x^n$ 项的系数是
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2}(-1 < x < 1)$.
已知方程 $\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 内有实根，求 $k$ 的范围.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且
$$
f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1 .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
(2) 存在 $\boldsymbol{\eta} \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$ 。
计算导数 $ f(x)=\sqrt{x^2+1}-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \text {, 求 } f^{\prime}(x) $
计算 求由方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 t \\ y=a \sin ^3 t\end{array}\right.$ 表示的函数的二阶导数 ;
设 $y=\left(3 x^2-2\right) \sin 2 x$, 求 $y^{(100)}$ 。
求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 过其上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程。
设 $a_1, a_2, ... a_n$ 为实常数, 证明:$ f(x)= a_1 \cos x+a_2 \cos 2 x+ ...+a_n \cos n x$
在 $(0, \pi)$ 内必有零点。
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶连续可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, 证明:
$$
\max _{a \leqslant x \leqslant b}|f(x)| \leqslant \frac{1}{4}(b-a)^2 \max _{a \leqslant x \leqslant b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|
$$
设 $f(x, y, z)=\ln x+2 \ln y+\ln z$, 求 $f(x, y, z)$ 在 $x^2+y^2+z^2=4 r^2(x, y, z>0)$ 下的极大值, 其中 $r$ 为正常数, 并证明对任意的正整数 $a, b, c$, 满足 $a b^2 c \leq 4\left(\frac{a+b+c}{4}\right)^4$.