题号:917    题型:解答题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, 且满足条件 $|f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$, 其中 $a, b$ 都是非负常数, $c$ 是 $(0,1)$ 内任意一点.
(1) 写出 $f(x)$ 在点 $x=c$ 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
(2) 证明 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a+\frac{b}{2}$.
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答案:
由于问题涉及到 $f, f^{\prime}$ 与 $f^{\prime \prime}$ 的关系, 自然应当利用泰勒公式, 而且应在点 $c$ 展开:
$$
f(x)=f(c)+f^{\prime}(x)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2 !}(x-c)^{2}, \xi \text { 在 } c \text { 与 } x \text { 之间. }
$$
分别取 $x=0,1$ 得
$$
\begin{aligned}
&f(0)=f(c)+f^{\prime}(c)(0-c)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{0}\right)}{2 !}(0-c)^{2}, \xi_{0} \text { 在 } c \text { 与 } 0 \text { 之间, } \\
&f(1)=f(c)+f^{\prime}(c)(1-c)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)}{2 !}(1-c)^{2}, \xi_{1} \text { 在 } c \text { 与 } 1 \text { 之间, }
\end{aligned}
$$
两式相减得 $f(1)-f(0)=f^{\prime}(c)+\frac{1}{2 !}\left[f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)(1-c)^{2}-f^{\prime \prime}\left(\xi_{0}\right) c^{2}\right]$,
于是
由此
$$
f^{\prime}(c)=f(1)-f(0)-\frac{1}{2 !}\left[f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)(1-c)^{2}-f^{\prime \prime}\left(\xi_{0}\right) c^{2}\right] .
$$
$\left|f^{\prime}(c)\right| \leq|f(1)|+|f(0)|+\frac{1}{2 !}\left|f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)\right|(1-c)^{2}+\frac{1}{2 !}\left|f^{\prime \prime}\left(\xi_{0}\right)\right| c^{2}$
$$
\leq 2 a+\frac{1}{2} b\left[(1-c)^{2}+c^{2}\right] < 2 a+\frac{b}{2} .
$$
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