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已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且
$$
f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1 .
$$

证明: (1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
(2) 存在 $\boldsymbol{\eta} \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$ 。
                        
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