设函数 $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{|\cos x|}=1$ ，则（）
A. $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f^{\prime}(x)=1$ ．
B. $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处可导．
C. $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的左导数为 1 ．
D. $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的右导数为 1 ．