单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{\ln x}=1$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
设 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ $\pi$.
$\text{B.}$ $-\pi$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{\pi}$.
$\text{D.}$ $-\frac{1}{\pi}$.
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\pi \sqrt{1+4 n^2}\right)$
$\text{A.}$ 等于 0 .
$\text{B.}$ 等于 1 .
$\text{C.}$ 等于 -1 .
$\text{D.}$ 不存在.
设 $\alpha_1=\ln (1+x)+\ln (1-x), \alpha_2=2^{x^4+x}-1, \alpha_3=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}$. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( )
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1$.
若 $x \rightarrow 0$ 时 $\frac{\cos x+\ln (1+x)}{1+x}=1+a x+b x^2+o\left(x^2\right)$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $a=0, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=0$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \sim c x^k$, 则 $c, k$ 分别是
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}, 3$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, 2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, 2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}, 3$.
在 $x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量中与 $x$ 等价的是
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$.
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$.
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$.
已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_n}{2 n-1}\right)^{n^2 \sin \frac{1}{n}}=A>0$ ，且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-k n\right)=B$（ $k$ 为常数）存在，则 $B=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 \ln A+1$
$\text{B.}$ $2 \ln A-1$
$\text{C.}$ $-A$
$\text{D.}$ $2 \ln A$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \cot x, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 的四阶麦克劳林公式为 $a+b x^2+c x^4+o\left(x^4\right)$ ，则 $a+b+$ $c=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{29}{45}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{8}{15}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\sin ^2 x\right)}{1-\cos x}$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^3+n}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{\sin x}- e ^x}{\sin x-\sin (\sin x)}=$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a, b$ 为常数，且当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-e$ 与 $\frac{b}{n^a}$ 为等价无穷小, 求 $a, b$ 的值.
已知 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a \arctan \frac{1}{x}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}\right]$ 存在，求 $a$ 的值.
设 $a>0,\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_0>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right), \quad n=0,1,2 ...
$$
证明: （1）$\left\{x_n\right\}$ 收敛, （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 。
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}-1}+y \sin \frac{1}{x}\right)$
设 $f(x)$ 连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=\pi$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\sin x)}{\tan ^2 x-\sin ^2 x}$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+a^n+\left(\frac{a^2}{2}\right)^n}(a>0)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(x^3-x^2+\frac{x}{2}\right) e ^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^6+1}\right]$.
考虑函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
$$
(1) 求 $f^{\prime}(0)$ ；
(2) 证明: $f^{\prime}(x)$ 在 0 处不连续.
设 $a_n=\sum_{i=1}^n \sin \frac{i}{n^2}, b_n=\sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2}, c_n=\sum_{i=1}^n \tan \frac{i}{n^c}$.
(1) 证明: $a_n < b_n < c_n$ ；
(2) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{c_n}$;
(3) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{\ln (1+1 / i)}{\sin 1 / i}
$$
(I) 求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x-\arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$;
(II) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x[1-f(x)]$ 不存在, 而 $I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x+[b-1-b f(x)] \arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$ 存在, 试确定$b$ 的值, 并求 $I$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x+b x^2\right) \sqrt{1+x}-c}{(1-\cos x) \arctan x}=d$, 求常数 $a, b, c, d$ 的值.
$\lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ ．
设 $a_0, a_1, \cdots, a_p$ 是 $p+1$ 个给定的数，且满足条件 $a_0+a_1+\cdots+a_p=0$ ．求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_0 \sqrt{n}+\right.$ $\left.a_1 \sqrt{n+1}+\cdots+a_p \sqrt{n+p}\right)$ ．
设 $a>0, b>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^n+b^n\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
给定两个正数 $a$ 和 $b$ ，且有 $0 < b < a$ ．令 $a_0=a, b_0=b$ ，并按照递推公式
$$
a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}, n \in N _{+}
$$
定义数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ．证明这两个数列收敛于同一个极限．
求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，其中 $a_n=\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}, n \in N _{+}$．
设 $a_1>0, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}, n \in N _{+}$，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{\sqrt{2 n}}=1$ ．
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}= e$
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{\ln (1+t)}{t^2}\right)$ ．
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^n}{n!}=0,(a>0)$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-x^{\sin x}}{x^2}$ ．