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给定两个正数 $a$ 和 $b$ ，且有 $0 < b < a$ ．令 $a_0=a, b_0=b$ ，并按照递推公式

$$
a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1} b_{n-1}}, n \in N _{+}
$$


定义数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ．证明这两个数列收敛于同一个极限．
                        
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