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设 $f(x, y, z)=\ln x+2 \ln y+\ln z$, 求 $f(x, y, z)$ 在 $x^2+y^2+z^2=4 r^2(x, y, z>0)$ 下的极大值, 其中 $r$ 为正常数, 并证明对任意的正整数 $a, b, c$, 满足 $a b^2 c \leq 4\left(\frac{a+b+c}{4}\right)^4$.
                        
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