解答题 （共 39 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算积分
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4 s}} s^{-\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-s} \mathrm{~d} s
$$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\int_0^x \mathrm{e}^{-t} \cos t \mathrm{~d} t}{\ln ^2(1+x)^0}-\frac{1}{x}\right]$.
计算 $I=\int \dfrac{e^{-\sin x} \sin 2 x}{\sin ^4\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)} \mathrm{d} x$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$.
设 $\int_0^2 f(x) d x=1, f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$, 求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) d x$
计算 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$, 其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t}{\ln \left(1+x^6\right)}$.
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x \sqrt{1+x^2+x^4}}\right)}{\ln \left(\tan \left(x \sqrt{2+x^2+x^4}\right)\right)}$
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 x^n \cos \left(1+x^2\right) \mathrm{d} x$
求不定积分 $\int\left[\arcsin \left(x+\frac{1}{2}\right)\right]^2 \mathrm{~d} x$.
求不定积分 $\int \frac{x^n}{1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}} \mathrm{d} x$
求不定积分:
$$
\int \frac{\frac{\ln x}{x}+\ln ^2 x}{e^{-2 x}+\ln ^2 x} \mathrm{~d} x
$$
计算 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x+1-x^2}{(1+x \sin x) \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int \frac{x^{1 / 7}+x^{1 / 2}}{x^{8 / 7}+x^{1 / 14}} \mathrm{~d} x$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 a^2\left(x^2-y^2\right)$ 所确定的隐函数, 求积分
$$
\int \frac{1}{y\left(x^2+y^2+a^2\right)} \mathrm{d} x
$$
设 $y(x-y)^2=x$, 求积分 $\int \frac{1}{x-3 y} \mathrm{~d} x$
计算不定积分 $\int \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+x}}} \mathrm{~d} x$ (其中根号 $\sqrt{ }$ 有 $n$ 重)。
求不定积分 $\int \sqrt{e^{2 x}+4 e^x-1} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int\left(\frac{\arctan x}{x-\arctan x}\right)^2 \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int\left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$
求$\int \frac{x^x(\cot x+\ln x \cdot \ln \sin x)}{e^x} \mathrm{~d} x$
求不定积分: $\int e^{x \sin +\cos x}\left(\frac{x^4 \cos ^3 x-x \sin x+\cos x}{x^2 \cos ^2 x}\right) \mathrm{d} x$
求不定积分: $\int \frac{x^5-3 x^3+6 x+9}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
计算 $\int_2^2 \frac{d x}{x \sqrt{x^2-1}}$
计算由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 相应于 $0 \leq t \leq 2 \pi$ 的一拱与直线 $y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积
对函数 $e^{x^2}$ 在 $[0, x](x>0)$ 上应用积分中值定理，有 $\int_0^x e^{t^2} d t=x e^{\theta(x) x^2}$其中 $\theta(x) \in(0,1)$ ，计算 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)$
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 连续, $f(1)=\frac{5}{2}$, 且对所有 $x, t \in(0,+\infty)$ 均有 $\int_1^{x t} f(u) d u=t \int_1^x f(u) d u+x \int_1^t f(u) d u$ ，求 $f(x)$ 的函数表达式
已知正切函数的泰勒展开式为: $\tan x=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+o\left(x^5\right)$
计算 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{\frac{1}{x}}-e^2\left(1+\frac{4}{3} x^2\right)}{x^4}$
对于一个实数 $x$ ，令 $f(x)=x-[x]$ ，其中 $[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数，计算积分 $\int_0^{2024} \min \left\{f\left(\frac{x}{8}\right), f\left(\frac{x}{4}\right)\right\} d x$.
计算
(1) $\int \frac{2 x+1}{x-1} d x$;
(2) $\int \frac{4 x^2-x-3}{2 x+1} d x$;
(3) $\int \frac{2 x^4+x^2+3}{x^2+1} d x$.
计算 $\int_0^{+\infty} x^{2010} \cdot e^{-x} d x$.
求 $\int \frac{1-x^7}{x\left(1+x^7\right)} d x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x e^{-x}, & x \leq 0 \\ \sqrt{2 x-x^2}, & 0 < x \leq 1\end{array}\right.$ 求 $\int_{-3}^1 f(x) d x$.
设函数 $f(x)$ 连续, $g(x)=\int_0^1 f(x t) d t, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A, A$ 为常数. 求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线, 该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D .
(1) 求 D 的面积 A ;
(2) 求 D 绕直线 $x = e$ 旋转一周所得旋转体的体积 V.
计算不定积分 $\int x \sqrt[3]{1-3 x} d x$.
已知 $\ln \ln x$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 求 $\int x f^{\prime}(x) d x$.
计算 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^2 \sin x+\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\right) d x$.
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在交点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公共切线,
(1) 求常数 $a$ 及 $x_0$;
(2) 求两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的面积 $A$;
(3) 写出 (2) 中所述平面图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V_x$ 的定积分计算公式 (不必计算结果)。
