解答题 （共 39 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $I=\int \frac{x^2}{1+x^2} \arctan x \mathrm{~d} x$.
求定积分 $I=\int_{-1}^1(2 x+|x|+1)^2 \mathrm{~d} x$.
求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^{x^2}\left(x^2-t\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(t)$ 为已知的连续函数.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2, & x \leq 0 \\ e^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$.
求 $\int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x)^3} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_0^1 x\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^n\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2}{n}\right)$.
求 $\int \frac{d x}{\sin (2 x)+2 \sin x}$.
已知 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，求 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
设 $f\left(x^2-1\right)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$, 且 $f[\varphi(x)]=\ln x$ ，求 $\int \varphi(x) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$
求不定积分 $\int(\arcsin x)^2 \mathrm{~d} x$
计算 $\int_0^{\ln 2} \sqrt{1-e^{-2 x}} \mathrm{~d} x$.
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$.
计算 $\int_0^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int e^{2 x}(\tan x+1)^2 \mathrm{~d} x$.
求极限 $I=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{a}{x}-\left(\frac{1}{x^2}-a^2\right) \ln (1+a x)\right](a \neq 0)$.
计算积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{\left|x-x^2\right|}} \mathrm{d} x$.
计算 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
设 $f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，计算 $\int f(x) \mathrm{d} x$.
计算 $I=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^{1+x}+e^{3-x}}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+\frac{3}{2} x^2, & -1 \leq x < 0 \\ \frac{x e^x}{\left(e^x+1\right)^2}, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$, 求函数 $F(x)=\int_{-1}^x f(t) \mathrm{d} t$ 的表达式.
设 $f\left(\sin ^2 x\right)=\frac{x}{\sin x}$ ，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) \mathrm{d} x$.
计算不定积分 $\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$.
广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(1+x^2\right)^2}=$
求 $\int \frac{\arcsin e^x}{e^x} d x$.
设 $f(x)$ 是区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足
$$
\int_0^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_0^x t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
$$
其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，求 $f(x)$.
设函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，且满足
$$
f(x)=\int_0^x\left(x^2-t^2\right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t+x^2 ，
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
计算 $\int_0^1 \frac{x^2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
求不定积分 $\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
计算 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{\frac{1}{x^4}}$.
求不定积分 $\int e^{2 x} \arctan \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$
求不定积分 $\int \frac{3 x+6}{(x-1)^2\left(x^2+x+1\right)} \mathrm{d} x$.
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\int_0^{\sqrt{t}} d u \int_{u^2}^t \sin y^2 d y}{\left[\left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{t^2}\right)^x-1\right] \arctan t^{\frac{3}{2}}}$.
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1+\frac{1}{2} \int_x^1 f(y) f(y-x) d y$, 求定积分 $I=\int_0^1 f(x) d x$.
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) d x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求 $\int f(x) d x$.