单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛，且 $a_n(x)$ 可导 $(n=1,2 \cdots)$ ，那么
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a^{\prime}{ }_n(x)$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, 但 $f^{\prime}(x)$ 不一定等于 $\sum_{n=1}^{\infty} a^{\prime}{ }_n(x)$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{\prime}(x)$ 点点收敛，但不一定一致收敛
$\text{D.}$ $sum_{n=1}^{\infty} a_n^{\prime}(x)$ 不一定点点收敛
下列命题正确的是
$\text{A.}$ 重极限存在，累次极限也存在并相等
$\text{B.}$ 累次极限存在，重极限也存在但不一定相等
$\text{C.}$ 重极限不存在, 累次极限也不存在
$\text{D.}$ 重极限存在，累次极限也可能不存在
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算积分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\pi \cos ^2 x}{x(\pi-2 x)} d x=$
积分 $\int \frac{1}{x\left(x^2+1\right)} d x=$
记 $F(x)=\int_0^{x^2} \cos \left(\pi t^2\right) d t$ ，则 $F^{\prime}(1)=$
设 $f(x)=\min \left\{x^2, 1\right\}$ ，则 $\int_0^2 f(x) d x=$
$\int_0^{+\infty} \frac{ d x}{ e ^{ x }+1}=$
由曲线段 $y=\sqrt{x-\frac{1}{4}}, ~ x \in[1,4]$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转面的面积为。
解答题 （共 30 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x\right) \mathrm{d} x$, 其中 $a b \neq 0$.
计算 $\int_0^1 \frac{\ln \left(1-a^2 x^2\right)}{x^2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$, 其中 $|a| \leq 1$.
求不定积分 $\int e^{-\sin x} \frac{\sin 2 x}{\sin ^4\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)} \mathrm{d} x$.
求定积分 $I=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+x^2} d x$ ．
$\lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n^2}\right)$
设 $f(x)=\int_0^x \sin (x-t) e^{-t} d t$ ，求 $f^{\prime}(x)$
$I=\int e^x \cos ^2 x d x$
已知 $n \in N$ ，求不定积分 $I_n=\int \tan ^n x d x$ 的递推公式．
求 $I_n=\int_0^{n \pi} \frac{\cos ^3 x}{2 \sin ^3 x+\cos ^4 x} d x$ ，其中 $n \in N _{+}$．
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1+x^2 & x \leq 0 \\ e^{-x} & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) d x$ ．
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^6 x-\cos ^6 x}{\sin x+\cos x} d x$ ．
（1） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$
（2） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 x d x$
（3） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^5 x d x$
（4） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^6 x d x$
用第一类换元积分法（令 $t=\pi-x$ ），证明： $\int_0^\pi x f(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) d x$ ，并由此计算定积分 $\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ ．
设 $f(x)$ 有一个原函数为 $\frac{\sin x}{x}$ ，求 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) d x$ 的值．
求悬链线 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 从 $x=0$ 到 $x=a$ 一段的弧长．
求心形线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 的周长．
求摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), a>0$ 一拱的弧长．
计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2} \ln ^2 x d x$ ．
计算定积分 $\int_0^2 \max \left\{x, x^2\right\} d x$ ．
计算定积分 $\int_{-2}^2 x^2 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$ ．
计算不定积分 $ \int \frac{x^2+\ln x}{x} d x$ ．
计算定积分 $\int_{\frac{1}{2}}^1 e ^{\sqrt{2 x-1}} d x$ ．
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x} d x$ ．
求积分 $\int_0^{ e } \cos (\ln x) d x$ 的值。
设 $D$ 为 $y=\sqrt{x(1-x)}$ 与 $x$ 轴围成的有界区域。
（I）求 $D$ 的面积；
（II）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体体积
$\int \frac{\cos ^3 x-2 \cos x}{1+\sin ^2 x+\sin ^4 x} d x=$
计算反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{1+x^2}} d x$ ．
设 $f(x)=\int_{x^2}^1 e^{-t^2} d t$ ，计算定积分 $\int_0^1 x f(x) d x$ ．
已知曲线 $y=\int_0^x \sqrt{\sin t} d t(0 \leq x \leq \pi)$ ．求该曲线的弧长．
求由曲线 $y=x^2, y=x, y=2 x$ 所围成的图形的面积．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续可微，且 $f(0)=0$ ，证明：
$$
\int_0^1\left|f^{\prime}(x) f(x)\right| d x \leq \frac{1}{2} \int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right|^2 d x
$$