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设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续可微，且 $f(0)=0$ ，证明：

$$
\int_0^1\left|f^{\prime}(x) f(x)\right| d x \leq \frac{1}{2} \int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right|^2 d x
$$
                        
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