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用第一类换元积分法（令 $t=\pi-x$ ），证明： $\int_0^\pi x f(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) d x$ ，并由此计算定积分 $\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ ．
                        
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