单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设平面 $\Pi$ 在三个坐标轴的截距都是 1 ，那么与平面 $\Pi$ 垂直的直线是
$\text{A.}$ $x+y+z=0$
$\text{B.}$ $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+3}{1}$
$\text{C.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{1}$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{c}x+y+z+1=0 \\ x+z=0\end{array}\right.$
下列曲面方程中，表示柱面的是
$\text{A.}$ $x^2-2 y^2=1$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=z$
$\text{C.}$ $x^2-2 y^2=z^2$
$\text{D.}$ $x^2-y^2=z$ ．
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\Pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则直线 $L$（）
$\text{A.}$ 平行于平面
$\text{B.}$ 在平面上
$\text{C.}$ 垂直于平面
$\text{D.}$ 与平面斜交
直线 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{1}=\frac{z+2}{2}, \\ y=0\end{array}\right.$ 上与点 $(2,1,-3)$ 最近的点是
$\text{A.}$ $(1,0,-2)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\frac{4}{5}, 0,-\frac{12}{5}\right)$ ．
$\text{C.}$ $(2,0,0)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{2}, 0,-1\right)$
曲面 $x^2+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为
$\text{A.}$ $x-y+z=-2$ ．
$\text{B.}$ $x+y+z=0$ ．
$\text{C.}$ $x-2 y+z=-3$ ．
$\text{D.}$ $x-y-z=0$ ．
填空题 （共 14 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
一平面 $\pi$ 过球面 $x^2+y^2+z^2=4 x-2 y-2 z$ 的球心，并垂直于直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y+z=0\end{array}\right.$ ，求该平面与该球面的交线在 $x O y$ 坐标面上的投影．
设曲面 $\Sigma$ 是由 $y O z$ 平面上的双曲线 $z^2-4 y^2=2$ 绕 $z$ 轴旋转而成，曲面上一点 $M$ 处的切平面 $\Pi$与平面 $x+y+z=0$ 平行，写出曲面 $\Sigma$ 和切平面 $\Pi$ 的方程．
设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \bullet \vec{c}=2$ ，则 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{c}+\vec{b})] \bullet(\vec{c}+\vec{a})=$ $\qquad$
求过 $M_1(2,-1,4), M_2(-1,3,-2), M_3(0,2,3)$ 三点的平面方程．
设一平面 $\pi$ 经过原点及点 $M(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，求此平面的方程．
点 $(2,1,0)$ 到平面 $3 x+4 y+5 z=4$ 的距离为
若向量 $\vec{a}=(2,3,-2)$ 与 $\vec{b}=\left(1, \frac{3}{2}, m\right)$ 平行，则 $m=$ $\qquad$
将 $y O z$ 坐标面上的抛物线 $y^2=5 z$ 绕 $z$ 轴旋转一周，则所生成的旋转曲面方程为
已知动点 $M(x, y, z)$ 到 $x o y$ 面的距离与到点 $(2,1,1)$ 距离相等，则该动点的轨迹方程为
已知直线 $\frac{x+1}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z-1}{3}$ 与平面 $m x-2 y-2 z=3$ 平行，则 $m=$
曲面 $z=3 x^2+2 y^2-2$ 在点 $(1,1,3)$ 处的法线方程是
母线平行于 $y$ 轴且通过曲线
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^2+y^2+z^2=16 \\
x^2+z^2-y^2=0
\end{array}\right.
$$
的柱面方程是 $\qquad$
球面 $x^2+y^2+z^2=11$ 在点 $(1,1,3)$ 处的切平面方程为
已知单位向量 $e_1, e_2$ 互相垂直，则以 $2 e_1-e_2$ 与 $e_1+2 e_2$ 为边的三角形的面积为
解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求以曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 为准线，母线平行于直线 $x=y=z$ 的柱面方程．
求直线 $L: \frac{x-1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}$ 绕 $z$ 轴旋转所得的旋转面方程．
求原点 $(0,0,0)$ 在平面 $\Pi: x+y+z=1$ 上的投影点的坐标．
已知直线 $l: \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ ，平面 $\pi$ 过点 $M(2,1,-5)$ 且与 $l$ 垂直，求平面 $\pi$ 的方程．
求过点 $(4,-1,3)$ 且平行于直线 $\frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{5}$ 的直线 $l$ 方程．
求以曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+2 z^2=1 \\ z=x^2+y^2\end{array}\right.$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴的柱面方程．
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2=1 \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转面方程．
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2=1 \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周产生的旋转面方程．
将 $x O z$ 坐标面上的圆 $x^2+z^2=9$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所生成的旋转面方程．
设曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+4 y+z^2=4 z \\ x^2-8 y+3 z^2=12 z\end{array}\right.$ ，求它在 $x O y$ 坐标面上的投影方程．
求直线 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=t \\ z=2 t\end{array}\right.$ 绕 $Z$ 轴旋转所得旋转曲面的方程．
指出下列方程所表示的曲面：
（1）$(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=4$
（2）$x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}=1$
（3）$\frac{x^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1$
（4）$z=x^2+y^2$
本题只需要给出结果，不需要证明．
（1）设平面 $\Sigma$ 过点 $P_0$ ，其法向量为 $\vec{n}, P_1$ 是平面 $\Sigma$ 外一点，请用 $\overrightarrow{P_0 P_1}$ 和 $\vec{n}$表达出点 $P_1$ 到平面 $\Sigma$ 的距离．
（2）设直线 $L$ 过点 $P_0$ ，其方向矢量为 $\vec{\tau}, ~ P_1$ 是 $L$ 外一点，请用 $\overrightarrow{P_0 P_1}$ 和 $\vec{\tau}$ 表达出点 $P_1$ 到 $L$ 的距离．
（3）设异面直线 $L_1, L_2$ 的方向矢量分别为 $\overrightarrow{\tau_1}, \overrightarrow{\tau_2}$ ，若已知点 $P_1$ 在 $L_1$ 上，点 $P_2$在 $L_2$ 上，请用 $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 和 $\overrightarrow{\tau_1}, \overrightarrow{\tau_2}$ 表达出 $L_1, L_2$ 间的距离公式．
一平面通过平面 $4 x-y+3 z-1=0$ 和 $x+5 y-z+2=0$ 的交线且与平面 $2 x-y+5 z-3=0$ 垂直，求该平面方程
求曲面 $x^2-x y-8 x+z+7=0$ 在点 $(2,-1,3)$ 处的切平面方程．
求过点 $(1,2,1)$ 且与两直线 $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{-3}$ 和 $\left\{\begin{array}{l}x-y+2 z=3 \\ x+2 y-2 z=1\end{array}\right.$ 平行的平面方程。
求过点 $(1,2,0)$ 且与两平面 $x+2 y+2 z=1$ 和 $x+y-3 z=2$ 平行的直线方程．
设平面 $\Pi$ 与平面 $5 x-y+3 z-2=0$ 垂直，且它们的交线在 $x o y$ 平面上，求平面 $\Pi$ 的方程。
设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=4$ ，试求 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{a}+\vec{c})$ ．
判断两直线 $L_1: \frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}$ 和 $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$ 是否在同一平面内，并求两直线的的夹角。