单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=|x|^{1+\frac{1}{x}}$ 的渐近线条数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $y=f(x)$ 为周期为 2 的可导函数，则 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f\left(\frac{x^2+5}{2}\right)-f\left(-\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}\right)}{\ln x}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} f^{\prime}(-1)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} f^{\prime}(3)$
$\text{D.}$ $2 f^{\prime}(5)$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\ln t, \\ y=\frac{t-t^3}{\sin \pi t}\end{array}\right.$ 确定，则 $f(x)$ 有 $(\quad)$ 个可去间断点．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left( e ^{-\frac{[x] \cos \sqrt{4 n^2+1 \pi}}{x}}- e ^{n[x]}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则（ ）
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点．
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点．
设函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{|x|^m+|y|^n}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 其中 $m, n$ 是两个正整数，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续的充要条件是
$\text{A.}$ $m>2$ 且 $n>2$ ．
$\text{B.}$ $m \geqslant 2$ 且 $n>2$ ．
$\text{C.}$ $m>2$ 且 $n \geqslant 2$ ．
$\text{D.}$ $m \geqslant 2$ 且 $n \geqslant 2$ ．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, \\ 0, & x>\frac{\pi}{2},\end{array} F(x)=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t\right.$, 则
$\text{A.}$ $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点．
$\text{B.}$ $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点．
$\text{C.}$ $F(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处连续但不可导。
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处可导．
下列说法正确的个数是（ ）
（1）若 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin \frac{1}{x}=0$ ；
（2）若 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin \frac{1}{x}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ；
（3）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界，则 $f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界；
（4）若 $f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界。
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4 ．
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^2+b x+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=1$
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-1$
$\text{D.}$ $a=\frac{2}{3}, b=1$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{(2 i-1)^2 j^4}{\left(2 n^2-1\right)^4}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{30}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{60}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{120}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{240}$.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的无穷小量是
$\text{A.}$ $\sqrt{1+x^4}-\mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}$ ．
$\text{B.}$ $\tan x-\sin x$ ．
$\text{C.}$ $3 x^3-4 x^4+5 x^5$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sin ^{\frac{3}{2}} t \mathrm{~d} t$ ．
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{e^x \ln (1+x)+a x+h x^2}}= e$ ，则 $a b=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2}{\pi} \arccos x\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\qquad$ ．
设 $a \neq \frac{1}{2}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left[\frac{n-2 n a+1}{n(1-2 a)}\right]^n=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|^{x+2}}{\sqrt{1+x^2}-1}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^2}-1\right)\left(\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)}{\sqrt{1-x^2}-\cos x}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
设 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，若 $\theta(x) \in(0,1)$ 满足 $\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t=x \tan (\theta(x) x)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}\right)}{\ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)}-2[x]\right\}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数；
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^x-x \arctan x}{\frac{\pi}{2} x+\mathrm{e}^x}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt{\cos 3 x}}{x^2}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-\mathrm{e}^{x^2}\right) \sin x^2}$ ；
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
设 $f(0)=a>0, f^{\prime}(0)=b$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)^{f(x)}-f(0)^{f(x)}}{x}$ ．