解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知可导函数 $y=y(x)$ 满足
$$
a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0
$$
且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.
设函数 $\varphi(x)=\int_0^{\sin x} f\left(t x^2\right) d t$, 其中 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(0)=2$.
(1) 求 $\varphi^{\prime}(x)$;
(2) 判断 $\varphi^{\prime}(x)$ 的连续性.
求曲线 $y=x^2\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{ e }-1\right](x>0)$ 的斜渐近线.
设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=a$, 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\int_0^1 g(x t) d t}{x}, x < 0, \\ 1, x=0, \\ \frac{a+b \cos x}{x^2}+c, x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 求常数 $a, b, c$ 的值。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x+b x^2\right) \sqrt{1+x}-c}{(1-\cos x) \arctan x}=d$, 求常数 $a, b, c, d$ 的值.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(a-6) \sin x+x^a \cos \frac{1}{x}, & x>0, \\ a \ln (1-a x), & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导．
（1）求参数 $a$ ；
（2）令 $\varphi(x)=f(x)\left( e ^x-1\right)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0), \varphi^{\prime \prime}(0)$ ．
设 $x_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\int_0^1 \max \left\{x_n, x\right\} d x(n=1,2, \cdots)$ ．证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求其极限。
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}\right)}{\ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)}-2[x]\right\}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt{\cos 3 x}}{x^2}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-\mathrm{e}^{x^2}\right) \sin x^2}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[\int_0^{u^2} \arctan (1+t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} u}{\ln (1+x) \int_0^1 \tan (x t)^2 \mathrm{~d} t}$ ；
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=\int_1^{y-x} e^{-u^2} \mathrm{~d} u$ 确定，求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{y-(1+e) x-1}{x^2} .
$$
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin (n x)}{\sin x}\right)^2 \mathrm{~d} x$ ，其中 $n \in \mathbb{N}_{+}$，计算极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{I_n}{n}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt[3]{1+2 \sin ^2 x}}{\tan ^2 x}$