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设 $z=z(x, y)$ 满足方程 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=(y-x) z$, 作变换

$$
u=x^2+y^2, v=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}, w=x+y-\ln z(x>0, y>0, z>0),
$$

已知 $w=w(u, v)$, 求原方程经过变换后化为 $u, v, w$ 所满足的微分方程.
                        
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