一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=n$, 则
$\text{A.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}) < n$.
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right) < n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B})=n$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right) < n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}) < n$.
$\text{D.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B})=n$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 3 行的 $-1$ 倍加到第 2 行得 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right)$, 其中 $a$ 为常数, 则 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为
$\text{A.}$ $1,-1,2$.
$\text{B.}$ $1,2,-2$.
$\text{C.}$ $1,2,a$.
$\text{D.}$ $1,-a,a$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=n$, 则有
$\text{A.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B})=n$.
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right) < n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B})=n$.
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right) < n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}) < n$.
$\text{D.}$ $r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=n, r(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}) < n$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+2 a x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 正定, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $-1 < a < 0$.
$\text{B.}$ $0 < a < 1$.
$\text{C.}$ $-\frac{4}{5} < a < 0$.
$\text{D.}$ $-\frac{4}{5} < a < 1$.
已知 $Q=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 37 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right], P$ 为 3 阶非零矩阵, 且已知 $P Q=0$, 则
$\text{A.}$ $t=6$ 时 $P$ 的秩必为 1
$\text{B.}$ $t=6$ 时 $P$ 的秩必为 2
$\text{C.}$ $t \neq 6$ 时 $P$ 的秩必为 1
$\text{D.}$ $t \neq 6$ 时 $P$ 的秩必为 2
若 $A$ 为 3 阶方阵, 且 $|A+2 E|=0,|2 A+E|=0,|3 A-4 E|=0$, 则 $|A|=$
$\text{A.}$ $8$
$\text{B.}$ $-8$
$\text{C.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{4}{3}$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $R(A)=r < n$, 那么 $A$ 的 $n$ 个列向量中
$\text{A.}$ 任意 $r$ 个列向量线性无关
$\text{B.}$ 必有某 $r$ 个列向量线性无关
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个列向量均构成极大线性无关组
$\text{D.}$ 任意 1 个列向量均可由其余 $n-1$ 个列向量线性表示
设齐次线性方程组 $\mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解, 则
$\text{A.}$ $\mathbf{A}$ 的列向量组线性无关;
$\text{B.}$ $\mathrm{A}$ 的列向量组线性相关;
$\text{C.}$ $\mathbf{A}$ 的行向量组线性无关;
$\text{D.}$ $\mathbf{A}$ 的行向量组线性相关.
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
二次型的 $f=x_1{ }^2+x_2{ }^2+x_3{ }^2+2 x_1 x_2+4 x_1 x_3$ 的矩阵为
设三阶矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 相似, 且 $\mathrm{A}$ 的特征值为 $2,2,3$, 则 $\left|B^{-1}\right|=$
已知三元方程 $a\left(x^2+y^2+z^2\right)+2(x y+y z+z x)=1$ 对应的空间曲面为双叶双曲面, 则 $a$ 的取值范围是
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1, a+8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1, a, 3)^{\mathrm{T}}$, 若 $\boldsymbol{\beta}=(1,2,4)^{\mathrm{T}}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示,则 $a=$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 3 阶矩阵, 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{P B}$, 且 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O},|\boldsymbol{A}|+1 < $ 0 , 则 $\left|(3 \boldsymbol{B})^{-1}-\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{B}\right)^{\cdot}\right|=$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则当常数 $k$ 满足 （ ） 时, 向量组 $k \alpha_2-\alpha_1$, $\alpha_3-\alpha_2, \alpha_1-\alpha_3$ 线性无关.
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,2, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 A^{-1}-E\right|=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 相似, 则常数 $b=$
设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶方阵, 且 $|\mathbf{A}|=\frac{1}{2}, \mathbf{A}^*$ 是 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵, 则 $\left|\mathbf{A}^*+(2 \mathbf{A})^{-1}\right|=$
设矩阵 $\mathbf{B}$ 为 $4 \times 3$ 矩阵, 且 $\mathbf{B}$ 的秩为 2 , 已知 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & 1 & 4 \\ 1 & 8 & -1 & 8\end{array}\right]$, 则 $r(\mathbf{A B})=$
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3$, 则该二次型的正惯性指数为
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1^2+5 x_2^2+a x_3^2-2 x_1 x_2+6 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 的秩为 2 .
(1) 求参数 $a$ 以及此二次型对应矩阵的特征值;
(2)指出 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 表示何种曲面.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)^2+\left(x_1-a x_2-2 x_3\right)^2$.
(I) 求方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形;
(III) 当 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 有非零解时, 确定常数 $a$, 使矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 并求
二次型 $g(x)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 在 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 下的最大值.
试确定 $k$ 为何值时, 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的秩为 2 ,
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
k \\
0
\end{array}\right) \alpha_3=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-4 \\
5 \\
-2
\end{array}\right) .
$$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & -4 \\ -2 & -4 & 5-\lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -\lambda-1\end{array}\right)$, 已知非齐次线性方程组 $A x=b$ 存在两个 不同的解.
(1) 求 $\lambda$;
(2) 求方程组 $A x=b$ 的通解.
设 $B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$, 求 $B$ 的特征值和特征向量.
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征 向量依次为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2$ 为两个线性无关的向量. 证明 $\alpha_1+\alpha_2$ 不是 $A$ 的特征向量.
已知二次型
$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=4 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+8 x_2 x_3$.
(1)写出二次型 $f$ 的矩阵表达式 ；
(2)用正交变换把二次型 $f$ 化为标准型，并写出相应正交矩阵.
当 $\boldsymbol{a}$ 为何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 x_1+(a+4) x_2+10 x_3=4 \\ x_1+(a+2) x_2+7 x_3=3 \\ 3 x_1+(a+6) x_2+\left(a^2+a+13\right) x_3=a+6\end{array}\right.$
有唯一解、无解、无穷多解? 有无穷多解时求其通解.
已知下列向量组
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-2,2,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(t, 0,1,2)^{\mathrm{T}} \text {, }
$$
（1）若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关, 求 $t$ 的值;
（2）若 $t=3$, 求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的一个极大无关组.
用正交变换法化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2{ }^2+x_3^2-2 a x_1 x_3(a>0)$
为标准形 $-y_1{ }^2+y_2{ }^2+b y_3{ }^2$, 求参数 $a$ 和 $b$, 并写出正交变换.
求向量组 $\alpha_1=(2,1,4,3)^T, \alpha_2=(-1,1,-6,6)^T, \alpha_3=(1,1,-2,7)^T$, $\alpha_4=(2,4,4,9)^T$ 的秩及一个极大无关组.