题号:4205    题型:解答题    来源:2022年西安电子科技大学《线性代数》期末考试
当 $\boldsymbol{a}$ 为何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 x_1+(a+4) x_2+10 x_3=4 \\ x_1+(a+2) x_2+7 x_3=3 \\ 3 x_1+(a+6) x_2+\left(a^2+a+13\right) x_3=a+6\end{array}\right.$
有唯一解、无解、无穷多解? 有无穷多解时求其通解.
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答案:
解:增广矩阵为

$$
(A, b)=\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & a+k & 10 & 4 \\
1 & a+2 & 7 & 3 \\
3 & a+6 & a^2+a+13 & a+b
\end{array}\right]
$$
一般把首列变化为1
$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & a+2 & 7 & 3 \\
0 & -a & -4 & -2 \\
0 & -2 a & a^2+a-8 & a-3
\end{array}\right]
$$
化成行阶梯型矩阵

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & a+2 & 7 & 3 \\
0 & a & 1 & 2 \\
0 & 0 & a^2+a & a+1
\end{array}\right]
$$

(1) $a=0 , R(A) \neq R(A, b)$ 无解
(2) $a \neq 0, a \neq-1$ , $R(A)=R(A, b)=3$, 有唯一解
(3) $a=-1 , R(A)=R(A, b)=2 < 3$, 有无穷多解。

有无穷尽时,其通解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1=5-11c \\
x_2=-2+4 c \\
x_3=c
\end{array}\right.
$$



$$
\therefore x=\left[\begin{array}{c}
5 \\
-2 \\
0
\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}
-11 \\
4 \\
1
\end{array}\right] , c \in R
$$
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