一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵,下列命题正确的有
(1) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(2) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(3) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^2$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(4) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $k \boldsymbol{A}(k \neq 0)$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k\end{array}\right)$. 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似, 则常数 $k$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $k>0$ 且 $k \neq 2$.
$\text{B.}$ $k < 0$ 且 $k \neq-2$.
$\text{C.}$ $k>0$ 且 $k \neq 3$.
$\text{D.}$ $k < 0$ 且 $k \neq-3$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=2 x_1^2+a x_2^2+4 x_1 x_2$ 对应的矩阵与 $\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right)$ 合同, 则
$\text{A.}$ $a>2, b=3$.
$\text{B.}$ $a < 2, b=3$.
$\text{C.}$ $a>2, b=\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ $a < 2, b=\frac{2}{3}$.
$n$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$, 矩阵 $C_1=A B, C_2=A+B, C_3=(A, B)$, 则下列命题一定正确的是( )
(1)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
(2)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性表示.
(3)矩阵 $C_2$ 的列向量组可由矩阵 $C_3$ 的列向量线性表示.
(4) 矩阵的秩满足 $r\left(C_2\right) \leq r\left(C_3\right) \leq r(A)+r(B)$.
$\text{A.}$ (1)(3)(4)
$\text{B.}$ (2)(3)(4)
$\text{C.}$ (1)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 为 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2$ 分别是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量,则
$\text{A.}$ 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必成比例
$\text{B.}$ 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必不成比例
$\text{C.}$ 当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时, $\xi_1, \xi_2$ 必成比例
$\text{D.}$ 当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必不成比例
设 $\mathrm{a}=2$ 是可逆矩阵 $\mathrm{A}$ 的一个特征值, 则 $A^{-1}$ 有一个特征值等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$;
零为方阵 $\mathrm{A}$ 的特征值是 $\mathrm{A}$ 不可逆的
$\text{A.}$ 充分条件;
$\text{B.}$ 充要条件;
$\text{C.}$ 必要条件;
$\text{D.}$ 无关条件;
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵, $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,3$, 则 $|\boldsymbol{A}|=$.
设向量组 $\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(5,3,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(1,3,-1)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(-2,2,-3)^{\mathrm{T}} . A$ 是三阶矩阵, 且.
$$
A \alpha_1=\alpha_2, A \alpha_2=\alpha_3, A \alpha_3=\alpha_4 \text {, 则 } A \alpha_4=
$$
已知四阶方阵 $A$ 的特征值为 $0,1,1,2$, 则 $|A-\lambda E|=$
设 0 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right)$ 的特征值, 则 $a=$
已知三阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,2$, 则 $B=3 A^2-2 A$ 的特征值为 ________ ;
$=$ $\qquad$ ; $A$ 的对角元之和为
$A$ 是 $n$ 阶方阵, $|A|=d$, 则 $A A^*$ 的特征值是
三、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵 $(n \geq 2)$, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1$, 证明 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$
若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是两个 $n$ 阶正交矩阵, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 也是正交矩阵.
三阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10\end{array}\right)$ 满足 $A B=O$.已知 $a_{22}=-3$, 且 $(1,3,2)^T$ 为矩阵 $A$ 的特征向量.
(I) 求矩阵 $A$ 的全部特征值和特征向量;
(II) 求矩阵 $A$ 以及 $(E+A)^{2020}$;
(III) 已知 $\beta=(2,6,4)^T$, 求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=-1$. 又设 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 有特征值 $\lambda_0$, 属于 $\lambda_0$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $a, b, c$ 及 $\lambda_0$ 的值.
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$.
(I) 求 $\boldsymbol{A}^{99}$.
(II) 设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 满足 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$. 记 $\boldsymbol{B}^{100}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$, 将 $\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$分别表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的秋为 2 , 且
$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) .
$$
(I) 求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量;
(II) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$,
(I) 求正交阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角阵.
(II) 求 $\boldsymbol{X}_{3 \times 2}$, 使得 $\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$, 并讨论秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{X}_{3 \times 2}\right)$.
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & 2 & -3\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$, 其中 $|\boldsymbol{A}|>0$.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求 $\boldsymbol{A}^{99}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3\end{array}\right)$.
( I ) 证明 $\boldsymbol{\alpha}=\left(1, \lambda_0, \lambda_0^2, \lambda_0^3\right)^{\mathrm{T}}$ 是特征值 $\lambda_0$ 对应的特征向量；
(II) 若 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的互不相同的特征值,求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵.
三阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 10\end{array}\right)$ 满足 $A B=O$. 已知 $a_{22}=-3$, 且 $(1,3,2)^T$ 为矩阵 $A$ 的特征向量.
(I) 求矩阵 $A$ 的全部特征值和特征向量;
(II) 求矩阵 $A$ 以及 $(E+A)^{2020}$;
(III) 已知 $\beta=(2,6,4)^T$, 求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.
求下列矩阵的特征值和特征向量
1. $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$
$$
\text { 2. } B=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)
$$
设 $\alpha$ 为 $n$ 维列向量, 证明: $\alpha$ 是矩阵 $\alpha \alpha^T$ 的特征向量, 并求 $\alpha$ 对应的特征值.
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵,
1. 当 $A^2=E$ 时, 求 $A$ 的特征值;
2.当 $A^m=O$ 时, 求 $A$ 的特征值, 其中 $m$ 为正整数.
求 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$; 的特征向量与特征值
求$\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.特征值和特征向量.
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda$, 对应的特征向量为 $\xi$. 求 $k \boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^k, f(\boldsymbol{A})$ 的特征值和特征向量, 其中 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$.