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考5

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 20 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x), g (x)

在区间

[a, b]

上连续，且

g (x) < f (x) < m

(

m

为常数 )，则曲线

y = g (x), y = f (x), x = a

及

x = b (a < b)

所围成图形绕直线

y = m

旋转而成的旋转体体积为

A.

\int_{a}^{b} π [2 m - f (x) + g (x)] [f (x) - g (x) d x

B.

\int_{a}^{b} π [2 m - f (x) - g (x)] [f (x) - g (x)] d x

C.

\int_{a}^{b} π [m - f (x) + g (x)] [f (x) - g (x)] d x

D.

\int_{a}^{b} π [m - f (x) - g (x)] [f (x) - g (x)] d x

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2. 设

f (x) = {\begin{cases} x, 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 2 - 2 x, \frac{1}{2} < x < 1 \end{cases}

，

S (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos n π x, - \infty < x < + \infty,

其中

a_{n} = 2 \int_{0}^{1} f (x) \cos n π x d x (n = 0, 1, 2, \dots)

，则

S (- \frac{5}{2})

等于

A.

\frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{3}{4}

D.

- \frac{3}{4}

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3. 设级数

\sum_{i = 1}^{\infty} u_{n}

收敛，则必收敛的级数为

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{u_{n}}{n}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} - u_{2 n})

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + u_{n + 1})

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4. 设

u_{n} \neq 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

且

lim_{n \to + \infty} \frac{n}{u_{n}} = 1

，则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} (\frac{1}{u_{n}} + \frac{1}{u_{n + 1}})

A.

发散

B.

绝对收敛

C.

条件发散

D.

收敛性根据所给条件不能确定

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5. 设幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} x^{n}

的收敛半径分别为

\frac{\sqrt{5}}{3}

与

\frac{1}{3}

，则幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}^{2}}{b_{n}^{2}} x^{n}

的收敛半径为

A.

B.

\frac{\sqrt{5}}{3}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{1}{5}

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6. 设

{a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}

均为非负数列，

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0, lim_{n \to \infty} b_{n} = 1, lim_{n \to \infty} c_{n} = \infty .

则必有

A.

a_{n} < b_{n}

对任意

n

成立

B.

b_{n} < c_{n}

对任意

n

成立

C.

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot c_{n}

的极限不存在

D.

lim_{n \to \infty} b_{n} \cdot c_{n}

的极限不存在

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7. 设

{a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}

均为非负数列，

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0, lim_{n \to \infty} b_{n} = 1, lim_{n \to \infty} c_{n} = \infty,

则必有

A.

a_{n} < b_{n}

对任意

n

成立

B.

b_{n} < c_{n}

对任意

n

成立

C.

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot c_{n}

的极限不存在

D.

lim_{n \to \infty} b_{n} \cdot c_{n}

的极限不存在

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8. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

，则极限

lim_{n \to \infty} n a_{n}

等于

A.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} + 1

B.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} - 1

C.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} + 1

D.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} - 1

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9. 设

p_{n} = \frac{a_{n} + | a_{n} |}{2}, q_{n} = \frac{a_{n} - | a_{n} |}{2}, n = 1, 2, \dots

, 则下列命题正确的是

A.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

条件收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} p_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} q_{n}

都收敛

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

绝对收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} p_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} q_{n}

都收敛

C.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

条件收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} p_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} q_{n}

的敛散性都不定

D.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

绝对收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} p_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} q_{n}

的敛散性都不定

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10. 设

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

为正项级数，下列结论中正确的是

A.

若

lim_{n \to \infty} n a_{n} = 0

，则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛.

B.

若存在非零常数

λ

使得

lim_{n \to \infty} n a_{n} = λ ，则 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散

C.

若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛，则

lim_{n \to \infty} n^{2} a_{n} = 0

D.

若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散, 则存在非零常数

λ

，使得

lim_{n \to \infty} n a_{n} = λ

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11.

lim_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} {(1 + \frac{2}{n})}^{2} \dots {(1 + \frac{2}{n})}^{2}}

等于

A.

\int_{1}^{2} \ln^{2} x d x

B.

2 \int_{1}^{2} \ln x d x

C.

2 \int_{1}^{2} \ln (1 + x) d x

D.

\int_{1}^{2} \ln^{2} (1 + x) d x

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12. 设有下列命题:
（1）若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛
（2）若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n + 1000}

收敛
（3）若

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} > 1

，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散
(4) 若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

收敛，则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都收敛则以上命题中正确的是

A.

(1) (2)

B.

(2) (3)

C.

(3) (4)

D.

(1) (4)

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13. 设

a_{n} > 0, n = 1, 2, \dots

, 若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

发散，

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} a_{n}

收敛，则下列结论正确的是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1}

收敛，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n}

发散

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n}

收敛，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{2 n - 1}

发散.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{2 n - 1} + a_{2 n})

收敛.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{2 n - 1} - a_{2 n})

收敛

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14. 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛，则级数

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |

收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

收敛.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} a_{n + 1}

收敛.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} + a_{n + 1}}{2}

收敛.

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15. 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛，则级数

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |

收敛.

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

收敛.

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} a_{n + 1}

收敛.

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n} + a_{n + 1}}{2}

收敛.

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16. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上具有二阶导数，且

f^{''} (x) > 0

，令

u_{n} = f (n) (n = 1, 2, \dots)

, 则下列结论正确的是

A.

若

u_{1} > u_{2}

，则

{u_{n}}

必收敛

B.

若

u_{1} > u_{2}

，则

{u_{n}}

必发散

C.

若

u_{1} < u_{2}

, 则

{u_{n}}

必收敛

D.

若

u_{1} < u_{2}

，则

{u_{n}}

必发散

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17. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内单调有界，

{x_{n}}

为数列，下列命题正确的是

A.

若

{x_{n}}

收敛，则

{f (x_{n})}

收敛

B.

若

{x_{n}}

单调，则

{f (x_{n})}

收敛

C.

若

{f (x_{n})}

收敛，则

{x_{n}}

收敛

D.

若

{f (x_{n})}

单调，则

{x_{n}}

收敛

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18. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内单调有界，

{x_{n}}

为数列，下列命题正确的是

A.

若

{x_{n}}

收敛，则

{f (x_{n})}

收敛

B.

若

{x_{n}}

单调，则

{f (x_{n})}

收敛

C.

若

{f (x_{n})}

收敛，则

{x_{n}}

收敛

D.

若

{f (x_{n})}

单调，则

{x_{n}}

收敛

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19. 设有两个数列

{a_{n}}, {b_{n}}

，若

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

，则

A.

当

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

收敛时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

收敛

B.

当

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

发散时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

发散

C.

当

\sum_{n = 1}^{\infty} | b_{n} |

收敛时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}

收敛

D.

当

\sum_{n = 1}^{\infty} | b_{n} |

发散时，

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}

发散

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20. 设

{a_{n}}

单调减少，

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0, S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n = 1, 2, \dots)

无界，则幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}

的收敛域为

A.

(- 1, 1]

B.

[- 1, 1)

C.

[0, 2)

D.

(0, 2]

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

21. 由曲线

{\begin{cases} 3 x^{2} + 2 y^{2} = 12, \\ z = 0 \end{cases}

绕

y

轴旋转一周得到的旋转面在点

(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})

处的指向外侧的单位法向量为

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22. 设函数

f (x) = a^{x} (a > 0, a \neq 1)

，则

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \ln [f (1) f (2) \dots f (n)] =

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23. 已知幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x + 2)^{n}

在

x = 0

处收敛，在

x = - 4

处发散，则幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - 3)^{n}

的收敛域为

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三、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

24. 计算

\iint_{Σ} 2 x z d y d z + y z d z d x - z^{2} d x d y

, 其中

Σ

是由曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与

z = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}

所围立体的表面外侧.

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25. 已知点

A

与点

B

的直角坐标分别为

(1, 0, 0)

与

(0, 1, 1)

, 线段

A B

绕

z

轴旋转一周所成的旋转曲面为

S

, 求由

S

及两平面

z = 0, z = 1

所围成的立体体积.

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26. 计算曲面积分

\iint_{Σ} z d S

, 其中

Σ

为椎面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

在柱体

x^{2} + y^{2} ⩽ 2 x

内的部分.

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27. 过点

P (1, 0)

作抛物线

y = \sqrt{x - 2}

的切线与上述抛物线及

x

轴围成一平面图形，求此图形绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积.

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28. 设曲线方程为

y = e^{- x} (x \geq 0)

.
(1) 把曲线

y = e^{- x} 、 x

轴、

y

轴和直线

x = ξ (ξ > 0)

所围平面图形绕

x

轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体体积

V (ξ)

；并求满足

V (a) = \frac{1}{2} lim_{ξ \to + \infty} V (ξ)

的

a

.
(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.

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29. 设平面图形

A

由

x^{2} + y^{2} \leq 2 x

与

y \geq x

所确定，求图形

A

绕直线

x = 2

旋转一周所得旋转体的体积.

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30. 求曲线

y = 3 - | x^{2} - 1 |

与

x

轴围成的封闭图形绕直线

y = 3

旋转所得的旋转体体积.

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31. 已知曲线

y = a \sqrt{x} (a > 0)

与曲线

y = \ln \sqrt{x}

在点

(x_{0}, y_{0})

处有公共切线，求: (1) 常数

a

及切点

(x_{0}, y_{0})

；
(2) 两曲线与

x

轴围成平面图形绕

x

轴旋转所得旋转体体积.
(3) 两曲线与

x

轴围成的平面图形的平面图形的面积

S

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32. 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为

2 a 、 2 b

，用过此柱体底面的短轴与底面成

α

角

(0 < α < \frac{π}{2})

的平面截此柱体，得一楔形体(如图)，求此楔形体的体积

V

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33. 设有两条抛物线

y = n x^{2} + \frac{1}{n} 和 y = (n + 1) x^{2} + \frac{1}{n + 1},

记它们交点的横坐标的绝对值为

a_{n}

.
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积

S_{n}

；
(2) 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{S_{n}}{a_{n}}

的和.

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34. 设

a_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{n} x d x

.
(1) 求

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} (a_{n} + a_{n + 2})

的值；
(2) 试证: 对任意的常数

λ > 0

，级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{λ}}

收敛.

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35. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{n} + (- 2)^{n}} \frac{x^{n}}{n}

的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.

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36. 设

0 \leq x_{1} \leq 3, x_{n + 1} = \sqrt{x_{n} (3 - x_{n})} (n = 1, 2, \dots)

，证明数列

{x_{n}}

的极限存在，并求此极限.

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37. 设有方程

x^{n} + n x - 1 = 0

，其中

n

为正整数. 证明此方程存在惟一正实根

x_{n}

，并证明当

α > 1

时，级数

\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}^{α}

收敛.

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38. 设数列

{x_{n}}

满足

0 < x_{1} < π, x_{x + 1} = \sin x_{n} (n = 1, 2, \dots) .

(1) 证明

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在，并求极限.
(2) 计算

lim_{n \to \infty} {(\frac{x_{n + 1}}{x_{n}})}^{\frac{1}{x_{n}^{2}}}

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39. 设幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

在

(- \infty, + \infty)

内收敛，其和函数

y (x)

满足

y^{''} - 2 x y^{'} - 4 y = 0, y (0) = 0, y^{'} (0) = 1

.
(1) 证明:

a_{n + 2} = \frac{2}{n + 1} a_{n}, n = 1, 2, \dots

(2) 求

y (x)

的表达式.

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40. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{2 n - 1} x^{2 n}

的收敛域及和函数.

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