一、单选题 （共 20 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $g(x) < f(x) < m$ ( $m$ 为 常 数 )，则曲 线 $y=g(x), y=f(x), x=a$ 及 $x=b(a < b)$ 所围成图形绕直线 $y=m$ 旋转而成的旋转体体积为
$\text{A.}$ $\int_a^b \pi[2 m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_a^b \pi[2 m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_a^b \pi[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_a^b \pi[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，
$$
S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ，则 $S\left(-\frac{5}{2}\right)$等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
设级数 $\sum_{i=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则必收敛的级数为
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{u_n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right)$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+u_{n+1}\right)$
设 $u_n \neq 0(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{u_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件发散
$\text{D.}$ 收敛性根据所给条件不能确定
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ 与 $\frac{1}{3}$ ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n^2}{b_n^2} x^n$ 的收敛半径为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 均为非负数列，
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\mathbf{0}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=1, \lim _{n \rightarrow \infty} c_n=\infty \text {. }
$$
则必有
$\text{A.}$ $a_n < b_n$ 对任意 $n$ 成立
$\text{B.}$ $b_n < c_n$ 对任意 $n$ 成立
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot c_n$ 的极限不存在
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n \cdot c_n$ 的极限不存在
设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 均为非负数列，
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=1, \lim _{n \rightarrow \infty} c_n=\infty,
$$
则必有
$\text{A.}$ $a_n < b_n$ 对任意 $n$ 成立
$\text{B.}$ $b_n < c_n$ 对任意 $n$ 成立
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot c_n$ 的极限不存在
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n \cdot c_n$ 的极限不存在
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{B.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$
$\text{C.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{D.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}-1$
设 $p_n=\frac{a_n+\left|a_n\right|}{2}, q_n=\frac{a_n-\left|a_n\right|}{2}, n=1,2, \cdots$, 则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 都收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 都收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 的敛散性都不定
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 的敛散性都不定
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛.
$\text{B.}$ 若存在非零常数 $ \lambda$ 使得 $ \lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda \text { ，则 } \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 发散
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 a_n=0$
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散, 则存在非零常数 $\boldsymbol{\lambda}$ ，使得
$\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{2}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) d x$
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) \mathrm{d} x$
设有下列命题:
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}+u_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$ 收敛
（3）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
(4) 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛则以上命题中正确的是
$\text{A.}$ (1) (2)
$\text{B.}$ (2) (3)
$\text{C.}$ (3) (4)
$\text{D.}$ (1) (4)
设 $a_n>0, n=1,2, \cdots$, 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散， $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$收敛，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}$ 发散
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ 发散.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)$ 收敛
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛.
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 收敛.
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n a_{n+1}$ 收敛.
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令 $u_n=f(n)(n=1,2, \cdots)$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{B.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
$\text{C.}$ 若 $u_1 < u_2$, 则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{D.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界， $\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界， $\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
设有两个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 收敛时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 发散时， $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散
设 $\left\{a_n\right\}$ 单调减少， $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0, S_n=\sum_{k=1}^n a_k(n=1,2, \cdots)$无界，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 的收敛域为
$\text{A.}$ $(-1,1]$
$\text{B.}$ $[-1,1)$
$\text{C.}$ $[0,2)$
$\text{D.}$ $(0,2]$
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
由曲线 $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+2 y^{2}=12, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周得到的旋转面在点 $(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$ 处的指向外侧 的单位法向量为
设函数 $f(x)=a^x(a>0, a \neq 1)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \ln [f(1) f(2) \cdots f(n)]=$
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x+2)^n$ 在 $x=0$ 处收敛，在 $x=-4$处发散，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-3)^n$ 的收敛域为
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\iint_{\Sigma} 2 x z d y d z+y z d z d x-z^{2} d x d y$, 其中 $\Sigma$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 所围立体的表面外侧.
已知点 $A$ 与点 $B$ 的直角坐标分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,1)$, 线段 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的旋转曲面为 $S$, 求由 $S$ 及两平面 $z=0, z=1$ 所围成的立体体积.
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S$, 其中 $\Sigma$ 为椎面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 内的部分.
过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成一平面图形，求此图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设曲线方程为 $y=e^{-x}(x \geq 0)$.
(1) 把曲线 $y=e^{-x} 、 x$ 轴、 $y$ 轴和直线 $x=\xi(\xi>0)$ 所围平面图形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体体积 $V(\xi)$ ；并求满足 $V(a)=\frac{1}{2} \lim _{\xi \rightarrow+\infty} V(\xi)$ 的 $a$.
(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.
设平面图形 $A$ 由 $x^2+y^2 \leq 2 x$ 与 $y \geq x$ 所确定，求图形 $A$ 绕直线 $x=2$ 旋转一周所得旋转体的体积.
求曲线 $y=3-\left|x^2-1\right|$ 与 $x$ 轴围成的封闭图形绕直线 $y=3$ 旋转所得的旋转体体积.
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公共切线，求: (1) 常数 $a$ 及切点 $\left(x_0, y_0\right)$ ；
(2) 两曲线与 $x$ 轴围成平面图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体体积.
(3) 两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的平面图形的面积 $S$.
设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 $2 a 、 2 b$ ，用过此柱体底面的短轴与底面成 $\alpha$ 角 $\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ 的平面截此柱体，得一楔形体(如图)，求此楔形体的体积 $\boldsymbol{V}$.
设有两条抛物线
$$
y=n x^2+\frac{1}{n} \text { 和 } y=(n+1) x^2+\frac{1}{n+1} \text {, }
$$
记它们交点的横坐标的绝对值为 $a_n$.
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 $S_n$ ；
(2) 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_n}{a_n}$ 的和.
设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$.
(1) 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_n+a_{n+2}\right)$ 的值；
(2) 试证: 对任意的常数 $\lambda>0$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n+(-2)^n} \frac{x^n}{n}$ 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.
设 $0 \leq x_1 \leq 3, x_{n+1}=\sqrt{x_n\left(3-x_n\right)}(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，并求此极限.
设有方程 $x^n+n x-1=0$ ，其中 $n$ 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 $x_n$ ，并证明当 $\alpha>1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^\alpha$ 收敛.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足
$$
0 < x_1 < \pi, x_{x+1}=\sin x_n(n=1,2, \cdots) \text {. }
$$
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求极限.
(2) 计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x_n^2}}$.
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内收敛，其和函数 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0, y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1$.
(1) 证明: $a_{n+2}=\frac{2}{n+1} a_n, n=1,2, \cdots$
(2) 求 $y(x)$ 的表达式.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.