题号:622    题型:解答题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
计算 $\iint_{\Sigma} 2 x z d y d z+y z d z d x-z^{2} d x d y$, 其中 $\Sigma$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 所围立体的表面外侧.
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答案:
将 $I$ 表成 $I=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d z d x+R d x d y$, 则
$$
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=2 z+z-2 z=z
$$
又 $\Sigma$ 是封闭曲面, 可直接用高斯公式计算.
记 $\Sigma$ 围成区域 $\Omega$, 见草图, $\Sigma$ 取外侧, 由高斯公式得
$$
I=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d V=\iiint_{\Omega} z d V
$$
用球坐标变换求这个三重积分.
在球坐标变换下, $\Omega$ 为: $0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}, 0 \leq \rho \leq \sqrt{2}$, 于是

\begin{aligned}
I &=\iiint_{\Omega} z d V=\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d \varphi \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho \cos \varphi \rho^{2} \sin \varphi d \rho \\
&=2 \pi \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \varphi d \sin \varphi \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^{3} d \rho \\
&=2 \pi \cdot\left[\frac{1}{2} \sin ^{2} \varphi\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cdot\left[\frac{1}{4} \rho^{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}}=2 \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot 1=\frac{\pi}{2} .
\end{aligned}

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