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设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$.
(1) 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_n+a_{n+2}\right)$ 的值；
(2) 试证: 对任意的常数 $\lambda>0$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛.
                        
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