数学试题讲解

设

a_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{n} x d x

.
(1) 求

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} (a_{n} + a_{n + 2})

的值；
(2) 试证: 对任意的常数

λ > 0

，级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{λ}}

收敛.