【ID】721 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解
已知点 $A$ 与点 $B$ 的直角坐标分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,1)$, 线段 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的旋转曲面为 $S$, 求由 $S$ 及两平面 $z=0, z=1$ 所围成的立体体积.
答案:
方法 1: 用定积分.
设高度为 $z$ 处的截面 $D_{z}$ 的面积为 $S(z)$, 则所求体积 $V=\int_{0}^{1} S(z) d z$.
$A, B$ 所在的直线的方向向量为 $(0-1,1-0,1-0)=(-1,1,1)$, 且过 $A$ 点,
所以 $A, B$ 所在的直线方程为 $\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=1-z \\ y=z\end{array}\right.$.
截面 $D_{z}$ 是个圆形, 其半径的平方 $R^{2}=x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2}+z^{2}$, 则面积
$$
S(z)=\pi R^{2}=\pi\left[(1-z)^{2}+z^{2}\right],
$$
由此 $\quad V=\int_{0}^{1} \pi\left[(1-z)^{2}+z^{2}\right] d z=\pi \int_{0}^{1}\left(1-2 z+2 z^{2}\right) d z=\left.\pi\left(z-z^{2}+\frac{2}{3} z^{3}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{2 \pi}{3}$.

方法 2: 用三重积分.
$$
V=\iiint_{\Omega} d V=\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} d z \int_{0}^{\sqrt{(1-z)^{2}+z^{2}}} r d r=\frac{2 \pi}{3},
$$
或者
$$
\begin{aligned}
V &=\iiint_{\Omega} d V=\int_{0}^{1} d z \iint_{D_{z}} d \sigma=\int_{0}^{1} \pi\left[(1-z)^{2}+z^{2}\right] d z \\
&=\pi \int_{0}^{1}\left(1-2 z+2 z^{2}\right) d z \\
&=\left.\pi\left(z-z^{2}+\frac{2}{3} z^{3}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{2 \pi}{3}
\end{aligned}
$$

解析:

视频讲解

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