题号:767    题型:填空题    来源:1995年全国硕士研究生招生考试试题
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S$, 其中 $\Sigma$ 为雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱体 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 内的部分.
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答案:
将曲面积分 $I$ 化为二重积分 $I=\iint_{D_{x y}} f(x, y) d x d y$.
首先确定被积函数
$$
f(x, y)=z \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}=\sqrt{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}},
$$
对雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 而言, $\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\sqrt{2}$.

其次确定积分区域即 $\Sigma$ 在 $x O y$ 平面的投影区域 $D_{x y}$
(见右图), 按题意:
$$
\begin{aligned}
&D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leq 2 x, \text { 即 }(x-1)^{2}+y^{2} \leq 1 . \\
&I=\iint_{D_{x y}} \sqrt{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y .
\end{aligned}
$$
作极坐标变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$, 则
$$
D_{x y}: 0 \leq r \leq 2 \cos \theta,-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},
$$
因此,I=\sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} r \cdot r d r=\left.2 \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3} r^{3}\right|_{0} ^{2 \cos \theta} \quad d \theta=\frac{32}{9} \sqrt{2} .

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