题号:610    题型:填空题    来源:1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
由曲线 $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+2 y^{2}=12, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周得到的旋转面在点 $(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$ 处的指向外侧 的单位法向量为
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答案:
$\frac{1}{\sqrt{5}}\{0, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$

解析:

先写出旋转面 $S$ 的方程: $3\left(x^{2}+z^{2}\right)+2 y^{2}=12$.
$$
F(x, y, z)=3\left(x^{2}+z^{2}\right)+2 y^{2}-12 .
$$
则 $S$ 在点 $(x, y, z)$ 的法向量为
$$
\vec{n}=\pm\left\{\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right\}=\pm\{6 x, 4 y, 6 z\},
$$
所以在点 $(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$ 处的法向量为
$$
\vec{n}=\pm\{0,4 \sqrt{3}, 6 \sqrt{2}\}=\pm 2\{0,2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{2}\} .
$$
因指向外侧, 故应取正号, 单位法向量为
$$
\overrightarrow{n_{0}}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{2\{0,2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{2}\}}{\sqrt{(0)^{2}+(4 \sqrt{3})^{2}+(6 \sqrt{2})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{30}}\{0,2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{2}\}=\frac{1}{\sqrt{5}}\{0, \sqrt{2}, \sqrt{3}\} .
$$
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