一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的基, 则由基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 基 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$
齐次方程组 $A x=0$ 仅有零解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的
$\text{A.}$ 行向量组线性无关;
$\text{B.}$ 列向量组线性无关;
$\text{C.}$ 行向量组线性相关;
$\text{D.}$ 列向量组线性相关.
齐次方程组 $A x=0$ 有非零解的充要条件是
$\text{A.}$ $A$ 的任意两个列向量线性相关;
$\text{B.}$ $A$ 的任意两个列向量线性无关;
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
$\text{D.}$ 任意一列向量都是其余列向量的线性组合.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵, 下列命题中, 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分条件的个数为
(1) 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解.
(2) 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解.
(3) 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A A} \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解.
(4) 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A A ^ { \top } \boldsymbol { x }}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(2,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3=b_1, \\ x_1-2 x_2+x_3=b_2, \\ 2 x_1-x_2-x_3=3\end{array}\right.$ 的两个解, 则该方程组的通解为
$\text{A.}$ $k(1,1,1)^{\mathrm{T}}+(2,1,0)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{B.}$ $k(-1,1,1)^{\mathrm{T}}+(2,1,0)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{C.}$ $k(1,-1,1)^{\mathrm{T}}+(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{D.}$ $k(1,1,-1)^{\mathrm{T}}+(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$, 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为 $\boldsymbol{x}=k_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+$ $\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$, 其中 $k_1, k_2$ 为任意常数, 则下列说法中, 错误的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{b}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{b}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{b}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表示.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{b}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表示.
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=4 \\ 2 x_1+2 a x_2=4 \\ x_1+a x_2+x_3=3\end{array}\right.$ 无解, 则数 $a=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$, 且 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$
已知向量 $\alpha=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \beta=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ k\end{array}\right]$, 若矩阵 $\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 相似于矩阵 $\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$, 则 $k=$
在复线性空间 $M_3(\mathbb{C})$ (运算为矩阵的加法和乘法) 中, 考虑线性子空间
$$
V=\left\{X \in M_3(\mathbb{C}) \mid X\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 1 \\
-1 & 5 & 7
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\right\},
$$
则 $\operatorname{dim} V=$
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解, 则 $a=$
$n$ 元齐次线性方程组 $A$, $X=0$ 仅有零解的充分必要条件是
设四元方程组 $A X=B$ 的 3 个解是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 。其中 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2+\alpha_3=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$, 如 $R(A)=3$,则方程组 $A X=B$ 的通解是
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+3 x_3=0\end{array}\right.$ 的基础解系所含解向量的个数为
三、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ k \\ 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 线性相关, 求常数 $k$, 并找出一个最大无关组, 并用该最大无关组线性表示其余向量
设 3 维向量空间有两个基 $e_1, e_2, e_3$ 和 $e_1^{\prime}, e_2^{\prime}, e_3^{\prime}$, 它们满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{e}_1^{\prime}=e_1-\boldsymbol{e}_2, \\
e_2^{\prime}=2 e_1+3 \boldsymbol{e}_2+2 \boldsymbol{e}_3, \\
\boldsymbol{e}_3^{\prime}=e_1+3 e_2+2 \boldsymbol{e}_3 .
\end{array}\right.
$$
如果向量 $\boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+3 \boldsymbol{e}_3$ 在基 $\boldsymbol{e}_1^{\prime}, \boldsymbol{e}_2^{\prime}, \boldsymbol{e}_3^{\prime}$ 下的坐标 $x_1, x_2, x_3$ 组成的 3 维向量 $\boldsymbol{\xi}=\left(x_1\right.$, $\left.x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$ 是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & a & 0 \\ 0 & b & 2\end{array}\right)$ 的一个特征向量.
(1) 求常数 $a, b$.
(2) 问 $A$ 能否与对角阵相似? 如果能, 求使得 $P{ }^1 A P=\Lambda$ 的可逆矩阵 $P$ 和对角阵 $\Lambda$; 如果不能, 说明理由.
求直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z-1=0 \\ x+y-z+1=0\end{array}\right.$ 在平面 $\Pi: x+2 y-z=0$ 上 的投影方程.
(1) 设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵, 求证: $r\left(A^{\mathrm{T}} A\right)=r(A)$.
(2) 设 $A$ 为三阶方阵, 向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1,1$ 的特征向量, 而 $\alpha_3$ 满足 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$. 求证: 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关.
给定二次曲面在直角坐标下的方程 $x^2+y^2+z^2-x y-x z-y z-2 z+1=0$, 利用 正交变换和平移变换将其化为标准方程, 并判断这是什么类型的曲面.
考虑二阶复方阵 $M(\mathbb{C})$ 组成的复线性空间, 方阵 $A=\left(\begin{array}{ll}7 & 2 \\ 3 & 7\end{array}\right)$ 以及线性变换 $\mathscr{B}$ : $M_2(\mathbb{C}) \rightarrow M_2(\mathbb{C})$ 满足 $\mathscr{B}(X)=A X-X A$, 其中 $X$ 为任意 2 阶方阵, 试证明: $\mathscr{B}$ 是可对角 化的线性变换.
设有线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}(1+\lambda) x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=3 \\ x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda\end{array}\right.$,
问 $\lambda$ 取何值时, 此方程组 (1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解.
求方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+5 x_2-x_3-x_4=0 \\ x_1-2 x_2+x_3+3 x_4=0 \\ 3 x_1+8 x_2-x_3+x_4=0 \\ x_1-9 x_2+3 x_3+7 x_4=0\end{array}\right.$ 的基础解系, 并写出其通解.
解线性方程组
1. $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-3 x_3-x_4+x_5=0 \\ 3 x_1-x_2+x_3+4 x_4+3 x_5=0 \\ x_1+5 x_2-9 x_3-8 x_4+x_5=0\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l}x_1-2 x_2+2 x_3-x_4=1 \\ 2 x_1-4 x_2+8 x_3=2 \\ -2 x_1+4 x_2-2 x_3+3 x_4=3 \\ 3 x_1-6 x_2-6 x_4=4\end{array}\right.$
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-3 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}\right.$, 讨论 $\lambda$ 取何值时, (1) 有唯一解; （2）无解; (3)有无窈多解? 并在有无穷多解时, 求出它的所有解.
求一通解为 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{array}\right)=c_1\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 9 \\ 9 \\ 8\end{array}\right),\left(c_1, c_2 \in R\right)$ 的非齐次线性方程组.
讨论 $a$ 取什么值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
3 a x_1+(2 a+1) x_2+(a+1) x_3=a \\
(2 a-1) x_1+(2 a-1) x_2+(a-2) x_3=a+1 \\
(4 a-1) x_1+3 a x_2+2 a x_3=1
\end{array}\right.
$$
有解，并在有解时求出全部解.
$\lambda$ 取何值时，齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
(\lambda-2) x_1-3 x_2-2 x_3=0 \\
-x_1+(\lambda-8) x_2-2 x_3=0 \\
2 x_1+14 x_2+(\lambda+3) x_3=0 .
\end{array}\right.
$$
有非零解? 并在有非零解时求出它的全部解.
线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1 n} x_n=0 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots+a_{2 n} x_n=0 \\
a_{n-1,1} x_1+a_{n-1,2} x_2+\ldots+a_{n-1, n} x_n=0
\end{array}\right.
$$
的系数矩阵为
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right) .
$$
设 $M_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是在矩阵 $A$ 中划去第 $j$ 列所得到的 $n-1$ 阶子式，试证：
(1) $\left(M_1,-M_2, \cdots,(-1)^{n-1} M_n\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\boldsymbol{n}-1$ ，那么方程组的解全是 $\left(M_1,-M_2, \cdots,(-1)^{n-1} M_n\right)$ 的倍数.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right)$, 求 $X$, 使其满足方程 $A X=B$,
用初等行变换解求解下列非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1+x_2-3 x_3-x_4=1 \\
3 x_1+4 x_2-3 x_3+4 x_4=4 \\
x_1+2 x_2+2 x_3+-8 x_4=0
\end{array}\right.
$$
(要求写出通解的向量形式).