线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1 n} x_n=0 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots+a_{2 n} x_n=0 \\
a_{n-1,1} x_1+a_{n-1,2} x_2+\ldots+a_{n-1, n} x_n=0
\end{array}\right.
$$
的系数矩阵为
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right) .
$$
设 $M_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是在矩阵 $A$ 中划去第 $j$ 列所得到的 $n-1$ 阶子式，试证：
(1) $\left(M_1,-M_2, \cdots,(-1)^{n-1} M_n\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\boldsymbol{n}-1$ ，那么方程组的解全是 $\left(M_1,-M_2, \cdots,(-1)^{n-1} M_n\right)$ 的倍数.