一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 ${A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 ${A}$ 的行列式 $|{A}|=a \neq 0$, 而 ${A}^{*}$ 是 ${A}$ 的伴随矩阵, 则 $\left|{A}^{*}\right|$ 等于
$\text{A.}$ $a$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$.
$\text{C.}$ $a^{n-1}$.
$\text{D.}$ $a^{n}$.
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ $|A|^{n-1}$
$\text{B.}$ $|A|$
$\text{C.}$ $|A|^n$
$\text{D.}$ $|A|^{-1}$
设 $A, B, A+B, A^{-1}+B^{-1}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A^{-1}+B^{-1}$
$\text{B.}$ $A+B$
$\text{C.}$ $A(A+B)^{-1} B$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 非奇异 $(n \geq 2) ， A^*$ 是矩阵A 的伴随矩阵, 则
$\text{A.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|A|^{n-1} A$
$\text{B.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+1} A$
$\text{C.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$
$\text{D.}$ $\left(\mathrm{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+2} \boldsymbol{A}$
设 $A, B$ 为同阶可逆矩阵，则
$\text{A.}$ $A B=B A$
$\text{B.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$
$\text{C.}$ 存在可逆矩阵 $C$ ，使 $C^T A C=B$
$\text{D.}$ 存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ ，使 $P A Q=B$
设 $A=\left(\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}a_{14} & a_{13} & a_{12} & a_{11} \\ a_{24} & a_{23} & a_{22} & a_{21} \\ a_{34} & a_{33} & a_{32} & a_{31} \\ a_{44} & a_{33} & a_{42} & a_{41}\end{array}\right)$,
$P_1=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， 其中 $A$ 可逆，则 $B^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A^{-1} P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1 A^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_1 P_2 A^{-1}$
$\text{D.}$ $P_2 A^{-1} P_1$
设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，若 $A$ 的伴随矩阵的秩等于1，则必有
$\text{A.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$
$\text{B.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$
$\text{C.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$
$\text{D.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
设矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$. 已知矩阵 $A$ 相似于 $B$ ，则秩 $(A-2 E)$ 与秩 $(A-E)$ 之和等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$ ，则满足 $A Q=C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A$ 为三阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$ ，再将 $B$的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $C$ ，记 $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $C=P^{-1} A P$
$\text{B.}$ $C=P A P^{-1}$
$\text{C.}$ ${C}={P}^T {A} {P}$
$\text{D.}$ ${C}={P A} {P}^T$
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=0$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $E-A$ 不可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $E-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $E+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵。若 $|A|=2,|B|=3$, 则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 B^* \\ 2 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 B^* \\ 3 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cr}O & 3 A^* \\ 2 B^* & O\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 A^* \\ 3 B^* & O\end{array}\right)$
设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵， $B$ 为 $n \times m$ 型矩阵， $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵. 若 $A B=E$ ，则
$\text{A.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{B.}$ 秩 $r(A)=m$ ，秩 $r(B)=n$
$\text{C.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=m$
$\text{D.}$ 秩 $r(A)=n$ ，秩 $r(B)=n$
二、填空题 （共 17 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{B}=$
$\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{-1}=$
设 $A$ 和 $B$ 为可逆矩阵， $X=\left(\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right)$ 为分块矩阵，则 $X^{-1}=$
设 $A=\left[\begin{array}{ccccc}0 & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & 0 & \ldots & 0\end{array}\right]$ ，其中
$a_i \neq 0, i=1,2, \cdots, n \text { ，则 } A^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right) ， A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left(A^*\right)^{-1}=$
设矩阵 $A, B$ 满足 $A^* B A=2 B A-8 E$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), E$ 为单位矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $B=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，而 $n \geq 2$ 为正整数，则
$$
A^n-2 A^{n-1}=
$$
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7\end{array}\right), E$ 为 4 阶单位矩阵，且 $B=(E+A)^{-1}(E-A)$, 则 $(E+B)^{-1}=$
设矩阵 $A$ 满足 $A^2+A-4 E=O$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $(A-E)^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right)$ ，且秩 $(A)=3$ ，则 $k=$
设 $A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right) ， B=A^2-3 A+2 E$ ，则 $B^{-1}=$
设 $A, B$ 均为三阶矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵. 已知
$$
A B=2 A+B, B=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 2 \\
0 & 4 & 0 \\
2 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
则 $(A-E)^{-1}=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,2, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 A^{-1}-E\right|=$
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值互不相同，且行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $A$ 的秩为
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零方阵, $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵, 当 $\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 时, 证明 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量, $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\xi}$ 的转置. 证明： (1) $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=1$;
(2) 当 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=1$ 时, $\boldsymbol{A}$ 是不可逆矩阵.
已知三阶矩阵 $A$ 的逆矩阵为 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，试求伴随矩阵 $A^*$ 的逆矩阵.
设 4 阶方阵 $A$ 满足条件 $A A^T=2 E,|A| < 0$ ，其中 $E$ 是 4 阶单位阵，求方阵 $A$ 的伴随阵 $A^*$ 的一个特征值.
设 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵，将 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对换后得到的矩阵记为 $B$.
(1) 证明 $B$ 可逆;
(2) 求 $A B^{-1}$.
设 $A$ 为 $n$ 阶非奇异矩阵， $\alpha$ 为 $n$ 维列向量， $b$ 为常量，记分块矩阵 $P=\left[\begin{array}{cc}E & 0 \\ -\alpha^T A^* & |A|\end{array}\right], Q=\left[\begin{array}{ll}A & \alpha \\ \alpha^T & b\end{array}\right]$, 其中 $A^*$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵.
(1) 计算并化简 $P Q$ ；
(2) 证明: 矩阵 $Q$ 可逆的充分必要条件是 $\alpha^T A^{-1} \alpha \neq b$.
设 $A$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定， $B$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $B^T$ 为 $B$ 的转置矩阵，试证: $B^T A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $B$ 的秩 $r(B)=n$.
已知 $A, B$ 为 3 阶矩阵，且满足 $2 A^{-1} B=B-4 E$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵.
(1) 证明: 矩阵 $A-2 E$ 可逆;
(2) 若 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) ， E$ 为二阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$ ，则 $|B|=$
设 $\alpha, \beta$ 为 3 维列向量，矩阵 $A=\alpha \alpha^T+\beta \beta^T$ ，其中 $\alpha^T, \beta^T$ 分别是 $\alpha, \beta$ 的转置. 证明:
(1) 秩 $r(A) \leq 2$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 线性相关，则秩 $r(A) < 2$.