题号:723    题型:解答题    来源:1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零方阵, $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵, 当 $\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 时, 证明 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.
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答案:
证法一:由于 $A^{*}=A^{T}$, 根据 $A^{*}$ 的定义有
$$
A_{i j}=a_{i j}(\forall i, j=1,2, \mathrm{~L}, n) \text {, 其中 } A_{i j} \text { 是行列式 }|A| \text { 中 } a_{i j} \text { 的代数余子式. }
$$
由于 $A \neq 0$, 不妨设 $a_{i j} \neq 0$, 那么
$$
|A|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\mathrm{L}+a_{i n} A_{i n}=a_{i 1}^{2}+a_{i 2}^{2}+\mathrm{L}+a_{i n}^{2} \geq a_{i j}^{2} > 0
$$
故 $|A| \neq 0$.
证法二: (反证法) 若 $|A|=0$, 则 $A A^{*}=A A^{T}=|A| E=0$.
设 $A$ 的行向量为 $\alpha_{i}(i=1,2, \mathrm{~L}, n)$, 则 $\alpha_{i} \alpha_{i}^{T}=a_{i 1}^{2}+a_{i 2}^{2}+\mathrm{L}+a_{i n}^{2}=0 \quad(i=1,2, \mathrm{~L}, n)$.
于是 $\alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \mathrm{~L}, a_{i n}\right)=0 \quad(i=1,2, \mathrm{~L}, n)$.
进而有 $A=0$, 这与 $A$ 是非零矩阵相矛盾. 故 $|A| \neq 0$.

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