题号:759    题型:填空题    来源:1995年全国硕士研究生招生考试试题
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{B}=$
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答案:
$\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

解析:

在已知等式 $A^{-1} B A=6 A+B A$ 两边右乘以 $A^{-1}$, 得 $A^{-1} B=6 E+B$, 即 $\left(A^{-1}-E\right) B=6 E .$
因为
$$
\begin{aligned}
A^{-1}=&\left(\begin{array}{lll}
3 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{array}\right) \text {, 所以 } \\
& B=6\left(A^{-1}-E\right)^{-1}=6\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{lll}
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$
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