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考8

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A

是

n

阶矩阵,且

A

的行列式

| A | = 0

,则

A

中

()

A.

必有一列元素全为 0 .

B.

必有两列元素对应成比例

C.

必有一列向量是其余列向量的线性组合.

D.

任一列向量是其余列向量的线性组合.

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2. 四阶行列式

| \begin{array}{cccc} a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4} \end{array} |

的值等于

A.

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} - b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}

B.

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}

C.

(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) (a_{3} a_{4} - b_{3} b_{4})

D.

(a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}) (a_{1} a_{4} - b_{1} b_{4})

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3. 若

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1}, β_{2}

都是四维列向量，且四阶行列式

| α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} | = m, | α_{1} α_{2} β_{2} α_{3} | = n

, 则四阶行列式

| α_{3} α_{2} α_{1} (β_{1} + β_{2}) |

等于

A.

m + n

B.

- (m + n)

C.

n - m

D.

m - n

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4. 设矩阵

A_{m \times n}

的秩为

R (A) = m < n ， E_{m}

为

m

阶单位矩阵，下述结论中正确的是

A.

A

的任意

m

个列向量必线性无关

B.

A

的任意一个

m

阶子式不等于零

C.

若矩阵

B

满足

B A = 0

，则

B = 0

D.

A

通过初等行变换，必可以化为

(E_{m}, 0)

的形式

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5. 设

A

是任一

n (n \geq 3)

阶方阵，

A^{*}

是其伴随矩阵，又

k

为常数，且

k \neq 0, \pm 1

，则必有

(k A)^{*} =

A.

k A^{*}

B.

k^{n - 1} A^{*}

C.

k^{n} A^{*}

D.

k^{- 1} A^{*}

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6. 记行列式

| \begin{array}{cccc} x - 2 & x - 1 & x - 2 & x - 3 \\ 2 x - 2 & 2 x - 1 & 2 x - 2 & 2 x - 3 \\ 3 x - 3 & 3 x - 2 & 4 x - 5 & 3 x - 5 \\ 4 x & 4 x - 3 & 5 x - 7 & 4 x - 3 \end{array} |

为

f (x)

，则方程

f (x) = 0

的根的个数为

A.

B.

C.

D.

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7. 设

A, B

为

n

阶矩阵，

A^{*}, B^{*}

分别为

A, B

对应的伴随矩阵，分块矩阵

C = (\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array})

, 则

C

的伴随矩阵

C^{*} = ()

A.

(\begin{array}{cc} | A | A^{*} & 0 \\ 0 & | B | B^{*} \end{array})

B.

(\begin{array}{cc} | B | B^{*} & 0 \\ 0 & | A | A^{*} \end{array})

C.

(\begin{array}{cc} | A | B^{*} & 0 \\ 0 & | B | A^{*} \end{array})

D.

(\begin{array}{cc} | B | A^{*} & 0 \\ 0 & | A | B^{*} \end{array})

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8. 设

A, B

为满足

A B = O

的任意两个非零矩阵，则必有

A.

A

的列向量组线性相关，

B

的行向量组线性相关.

B.

A

的列向量组线性相关，

B

的列向量组线性相关.

C.

A

的行向量组线性相关，

B

的行向量组线性相关.

D.

A

的行向量组线性相关，

B

的列向量组线性相关

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9. 设

n

阶矩阵

A

的伴随矩阵

A^{*} \neq 0

，若

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}, ξ_{4}

是非齐次线性方程组

A x = b

的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组

A x = 0

的基础解系

A.

不存在

B.

仅含一个非零解向量

C.

含有两个线性无关的解向量

D.

含有三个线性无关的解向量

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10. 设

A

为

n (n \geq 2)

阶可逆矩阵，交换

A

的第 1 行与第 2 行

A.

交换

A^{*}

的第 1 列与第 2 列得

B^{*}

B.

交换

A^{*}

的第 1 行与第 2 行得

B^{*}

C.

交换

A^{*}

的第 1 列与第 2 列得

- B^{*}

D.

交换

A^{*}

的第 1 行与第 2 行得

- B^{*}

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11. 设

A

为

n (n \geq 2)

阶可逆矩阵，交换

A

的第 1 行与第 2 行得矩阵

B ， A^{*}, B^{*}

分别为

A, B

的伴随矩阵，则

A.

交换

A^{*}

的第 1 列与第 2 列得

B^{*}

B.

交换

A^{*}

的第 1 行与第 2 行得

B^{*}

C.

交换

A^{*}

的第 1 列与第 2 列得

- B^{*}

D.

交换

A^{*}

的第 1 行与第 2 行得

- B^{*}

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12. 设

A, B, C

均为

n

阶矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，若

B = E + A B, C = A + C A

则

B - C

等于

A.

E

B.

- E

C.

A

D.

- A

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13. 设矩阵

A = {(a_{i j})}_{3 \times 3}

满足

A^{*} = A^{T}

，其中

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，

A^{T}

为

A

的转置矩阵. 若

a_{11}, a_{12}, a_{13}

为三个相等的正数，则

a_{11}

为

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

C.

\frac{1}{3}

D.

\sqrt{3}

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14. 设

A

为

n

阶非零矩阵，

E

为

n

阶单位阵. 若

A^{3} = O

，则

A.

E - A

不可逆，则

E + A

不可逆

B.

E - A

不可逆，则

E + A

可逆

C.

E - A

可逆，则

E + A

可逆

D.

E - A

可逆，则

E + A

不可逆

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15. 设

A, B

均为 2 阶矩阵，

A^{*}, B^{*}

分别为

A, B

的伴随矩阵。若

| A | = 2, | B | = 3

，则分块矩阵

(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})

的伴随矩阵为

A.

(\begin{array}{cc} O & 3 B^{*} \\ 2 A^{*} & O \end{array})

B.

(\begin{array}{cc} O & 2 B^{*} \\ 3 A^{*} & O \end{array})

C.

(\begin{array}{cc} O & 3 A^{*} \\ 2 B^{*} & O \end{array})

D.

(\begin{array}{cc} O & 2 A^{*} \\ 3 B^{*} & O \end{array})

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16. 设

A, B

均为 2 阶矩阵，

A^{*}, B^{*}

分别为

A, B

的伴随矩阵。若

| A | = 2, | B | = 3

，则分块矩阵

(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})

的伴随矩阵为

A.

(\begin{array}{cc} O & 3 B^{*} \\ 2 A^{*} & O \end{array})

B.

(\begin{array}{cc} O & 2 B^{*} \\ 3 A^{*} & O \end{array})

C.

(\begin{array}{cc} O & 3 A^{*} \\ 2 B^{*} & O \end{array})

D.

(\begin{array}{cc} O & 2 A^{*} \\ 3 B^{*} & O \end{array})

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17. 设

A, P

均为 3 阶矩阵，

P^{T}

为

P

的转置矩阵，且

P^{T} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

，若

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

，则

Q^{T} A Q

为

A.

(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

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18. 设

A, P

均为 3 阶矩阵，

P^{T}

为

P

的转置矩阵，且

P^{T} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

, 若

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3}), Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3}),

则

Q^{T} A Q

为

A.

(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

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19. 设

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

是 4 阶矩阵、

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，若

(1, 0, 1, 0)^{T}

是方程组

A x = 0

的一个基础解系，则

A^{*} x = 0

的基础解系可为

A.

α_{1}, α_{3}

B.

α_{1}, α_{2}

C.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

D.

α_{2}, α_{3}, α_{4}

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二、填空题（共 15 题），请把答案直接填写在答题纸上

20. 设

4 \times 4

矩阵

A = (α, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4}), B = (β, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4})

, 其中

α, β, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4}

均为 4 维列向量, 且已知行列式

| A | = 4, | B | = 1

, 则行列式

| A + B | =

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21. 已知

α = (1, 2, 3), β = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3})

, 设

A = α^{T} β

, 其中

α^{T}

是

α

的转置, 则

A^{n} =

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22.

n

阶行列式

{| \begin{array}{cccccc} a & b & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & b & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & \dots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & b \\ b & 0 & 0 & \dots & 0 & a \end{array} |}_{n} =

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23. 设

A

为

m

阶方阵，

B

为

n

阶方阵，且

| A | = a, | B | = b, C = (\begin{array}{ll} 0 & A \\ B & 0 \end{array})

, 则

| C | =

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24. 行列式

| \begin{array}{ccccc} 1 - a & a & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 - a & a & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 - a & a & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 - a & a \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 - a \end{array} | =

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25. 设

n

阶矩阵

A = [\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \dots & 1 & 1 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \end{array}]

, 则

| A | =

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26. 设

n

阶矩阵

A

的元素全为 1 ，则

A

的

n

个特征值是

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27. 设

a = (1, 0, - 1)^{T}

，矩阵

A = α α^{T}, n

为正整数，则

| a E - A^{n} | =

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28. 设行列式

D = | \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & - 7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & - 2 & 2 \end{array} |

, 则第四行各元素余子式之和的值为

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29. 设矩阵

A = (\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

，矩阵

B

满足

A B A^{*} = 2 B A^{*} + E,

其中

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，

E

是单位矩阵，则

| B | =

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30. 6、设矩阵

A = (\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

，矩阵

B

满足

A B A^{*} = 2 B A^{*} + E,

其中

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，

E

是单位矩阵，则

| B | =

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31. 设

A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), B = P^{- 1} A P

，其中

P

为三阶可逆矩阵，则

B^{2004} - 2 A^{2} =

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32. 设矩阵

A = (\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A^{3}

的秩为

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33. 设 3 阶矩阵

A

的特征值为

2, 3, λ

. 若行列式

| 2 A | = - 48

，则

λ =

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34. 设

A, B

为三阶矩阵, 且

| A | = 3, | B | = 2, | A^{- 1} + B | = 2

,则

| A + B^{- 1} | =

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

35. 已知

A P = P B

, 其中

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), P = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{array})

, 求

A

及

A^{5}

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36. 已知实矩阵

A = {(a_{i j})}_{3 \times 3}

满足条件:
(1)

A_{i j} = a_{i j} (i, j = 1, 2, 3)

，其中

A_{i j}

是

a_{i j}

的代数余子式；
(2)

a_{11} \neq 0

.

计算行列式

| A |

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37. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array})

, 矩阵

X

满足

A^{*} X = A^{- 1} + 2 X,

其中

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，求矩阵

X

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38. 设

α

为 3 维列向量，

α^{T}

是

α

的转置，若

α α^{T} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}) .

则

α^{T} α =

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39. 设三阶方阵

A, B

满足

A^{2} B - A - B = E

，其中

E

为三阶单位矩阵，若

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 2 & 0 & 1 \end{array})

，则

| B | =

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