题号:918    题型:解答题    来源:1996年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零列向量, $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\xi}$ 的转置. 证明: (1) $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=1$;
(2) 当 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=1$ 时, $\boldsymbol{A}$ 是不可逆矩阵.
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答案:
(1) 因为 $A=E-\xi \xi^{T}, \xi^{T} \xi$ 为数, $\xi \xi^{T}$ 为 $n$ 阶矩阵, 所以
$$
A^{2}=\left(E-\xi \xi^{T}\right)\left(E-\xi \xi^{T}\right)=E-2 \xi \xi^{T}+\xi\left(\xi^{T} \xi\right) \xi^{T}=E-\left(2-\xi^{T} \xi\right) \xi \xi^{T}
$$
因此, $\quad A^{2}=A \Leftrightarrow E-\left(2-\xi^{T} \xi\right) \xi \xi^{T}=E-\xi \xi^{T} \Leftrightarrow\left(\xi^{T} \xi-1\right) \xi \xi^{T}=0$
因为 $\xi$ 是非零列向量, 所以 $\xi \xi^{T} \neq 0$, 故 $A^{2}=A \Leftrightarrow \xi \xi^{T}-1=0$, 即 $\xi \xi^{T}=1$.
(2) 反证法. 当 $\xi \xi^{T}=1$ 时, 由 (1) 知 $A^{2}=A$, 若 $A$ 可逆, 则 $A=A^{-1} A^{2}=A^{-1} A=E$.
与已知 $A=E-\xi \xi^{T} \neq E$ 矛盾, 故 $A$ 是不可逆矩阵.
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