设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$, 且 $|\boldsymbol{A}|=-1$. 又设 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 有特征值 $\lambda_0$, 属于 $\lambda_0$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $a, b, c$ 及 $\lambda_0$ 的值.