一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
向量组 $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m(m \geq 2)$ 线性相关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个零向量
$\text{B.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有两个向量成比例
$\text{C.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中每个向量都能由其余 $m-1$ 个向量线性表示
$\text{D.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示
已知方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\
a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\
a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3
\end{array}\right.
$$
无解，记
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}
d_1 \\
d_2 \\
d_3
\end{array}\right], \quad(\boldsymbol{X} \quad \boldsymbol{Y})
$$ 为分开矩阵，下列说法正确的是
①. $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有无穷多解
②. 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$
③. $R\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right)-R(\boldsymbol{A})=2$ 是可能成立的
④. 若 $\boldsymbol{A}$ 有且仅有两行成比例, 则该方程组所对应的平面的交线个数为 2 个。
$\text{A.}$ ①④
$\text{B.}$ ①②③
$\text{C.}$ ①③
$\text{D.}$ ②④
设 $\boldsymbol{\beta}_1 、 \boldsymbol{\beta}_2$ 是非齐次线性方程组 $A X=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解, $\boldsymbol{\alpha}_1 、 \boldsymbol{\alpha}_2$ 是对应的齐次线性 方程组 $A X=\mathbf{0}$ 的基础解系, $k_1 、 k_2$ 为任意常数, 则方程组 $A X=\boldsymbol{b}$ 的通解为
$\text{A.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{B.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{C.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{D.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right)$
设 $r(A)$ 和 $r(B)$ 分别表示某 $n$ 元非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩, 该方程组有解 当且仅当
$\text{A.}$ $r(A) < n$
$\text{B.}$ $r(A)>r(B)$
$\text{C.}$ $r(A) < r(B)$
$\text{D.}$ $r(A)=r(B)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{b}$ 为 $n$ 维列向量. 下列命题中, 错误的 是
$\text{A.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{B.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{C.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=0$ 有非零解.
$\text{D.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=0$ 有非零解.
设线性方程组 $A_{m \times n} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}(m \leq n)$ 对于任意的 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$ 都有解, 则
$\text{A.}$ $R(A)=n$
$\text{B.}$ $ R(A)=m$
$\text{C.}$ $R(A)>n$
$\text{D.}$ $R(A) < m$
已知方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3\end{array}\right.$ 无解, 记 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right], \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}d_1 \\ d_2 \\ d_3\end{array}\right],\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y}\end{array}\right)$ 为分块 矩阵, 则下列说法正确的是 ( )
(1). $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有无穷多解
(2). 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$
(3). $R(Ab) -R(A)=2$ 是可能成立的
(4). $\boldsymbol{b}$ 的模长一定不是 0
$\text{A.}$ (1)(4)
$\text{B.}$ (1)(2)(3)
$\text{C.}$ (1)(3)
$\text{D.}$ (2)(4)
如果 $[1,0,1]^T,[1,2,3]^T$ 是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也 是方程组的解?
$\text{A.}$ $[2,2,4]^T$
$\text{B.}$ $[0,2,2]^T$
$\text{C.}$ $[1,-2,-1]^T$
$\text{D.}$ $[2,0,2]^T$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关解, $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的特解,下列选项中可作为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{B.}$ $k_1\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{C.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}$
设阶数为 $n(n \geqslant 3)$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 其 对角元 $a_{k k}(1 \leqslant k \leqslant n)$ 均满足 $\left|a_{k k}\right|>\sum_{i=1, i \neq k}^n\left|a_{k i}\right|$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 可能有解, 也可能无解, 依赖于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和向量 $\boldsymbol{b}$ 的具体取值.
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 必有唯一解.
$\text{C.}$ 方程组 $A x=b$ 必有无穷多解.
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 是否有无穷多解依赖于 $\boldsymbol{b}$.
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
方程 $\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{x-i}=0$ 实根的个数为
设矩阵方程 $\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] X=\left[\begin{array}{cc}4 & -6 \\ 2 & 1\end{array}\right]$, 则 $X=$
设 $x=\eta^*$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的一个特解, $\xi_1, \xi_2$ 为对应齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系,则非齐次线性方程组 $A x=b$ 的通解为
如果向量组 (1): $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_x$ 与向量组 (2): $\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_r$ 等价, 向量组 (1)线性 无关, 则 $s$ 与 $r$ 的大小关系是
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 中每行元素之和都是 0 , 如果 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1$, 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解的
已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=0 \\
-2 x+3 y=5 \\
2 x+y=a
\end{array}\right.
$$
有解, 则 $a=$
设 $f(x)=x^3+4$, 分别在有理数域, 实数域, 复数域上把 $f(x)$ 分解为不可约的 多项式的乘积.
含参数 $a, b, c, d$ 的方程组如下
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=a \\
x_2+x_3=b \\
x_3+x_4=c \\
x_4+x_1=d
\end{array},\right.
$$
当参数满足什么条件时, 该方程组有解.
设 $A$ 是 3 阶实的对称矩阵， $\alpha=\left(\begin{array}{c}m \\ -m \\ 1\end{array}\right)$ 是线性方程组 $A x=0$ 的解， $\beta=\left(\begin{array}{c}m \\ 1 \\ 1-m\end{array}\right)$ 是线性方程组 $(A+E) x=0$ 的 解，则常数 $m=$
线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\ x_2-x_3+2 x_4=1 \\ 2 x_1+3 x_2+(a+2) x_3+4 x_4=b \\ 3 x_1+5 x_2+x_3+(a+8) x_4=5\end{array}\right.$ 无解的充要条件是
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 满足 $\mathbf{A}^2+\mathbf{A}=\mathrm{O}$, 求 $(\mathbf{A}+2 \mathbf{E})^{-1}$, 并找出 $\mathbf{A}$ 的特征 值.
解下列非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
2 x_1+x_2-x_3+x_4=1 \\
4 x_1+2 x_2-2 x_3+x_4=2 \\
2 x_1+x_2-x_3-x_4=1
\end{array}\right.
$$
问 $\lambda$ 为何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-2 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-1 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-1\end{array}\right.$ 有唯一解、无解、和有 无穷多解? 当方程有无穷多解时, 求其通解
求非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+2 x_2-2 x_3=1, \\ 2 x_1+x_2-x_3=2,\end{array}\right.$ 的向量形式通解.
当 $a 、 b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+\quad x_3+x_4 & =0 \\
x_2+\quad 2 x_3+2 x_4 & =1 \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4 & =b \\
3 x_1+2 x_2+\quad x_3+a x_4 & =-1
\end{aligned}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多组解, 并求出有无穷多组解时的通解.
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+3 x_2+x_3=0 \\
3 x_1+2 x_2+3 x_3=-1 \\
-x_1+4 x_2+a x_3=b
\end{array}\right.
$$
有唯一解? 无解? 有无穷多解, 并求出无穷多解时的通解。
问 $\lambda$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+3 x=\lambda, \\ 4 x_1+x_2+2 x_3=\lambda+2 \\ 6 x_1+x_2+4 x_3=2 \lambda+3\end{array}\right.$ 无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解.
求矩阵 $X$ 满足方程 $\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right] X\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & -1\end{array}\right]$
当 $a, b$ 为何值时, 方阵组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+3 x_3+x_4=2 \\ x_1+3 x_2+x_3+3 x_4=6 \\ x_1-5 x_2+12 x_3+b x_4=-4 \\ 3 x_1-x_2+15 x_3-x_4=a\end{array}\right.$ 无解, 唯一解, 无穷多解, 并求 出无穷多解时的通解。
已知非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_1+x_2+3 x_3-3 x_4=1 ; \\
4 x_1+3 x_2+5 x_3-x_4=b ; \\
a x_1+x_2+x_3+x_4=-1 .
\end{array}\right.
$$
有 3 个线性无关的解, 求参数 $a, b$ 的值与方程组的通解.