2022年西安电子科技大学《线性代数》期末考试-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 满足 $\mathbf{A}^2+\mathbf{A}=\mathrm{O}$, 求 $(\mathbf{A}+2 \mathbf{E})^{-1}$, 并找出 $\mathbf{A}$ 的特征值.

0 人点赞

12 次查看

我来讲解

答案：

解：（1）

$$
\begin{aligned}
& A^2+2 A-A-2 E+2 E=0 \\
& A(A+2 E)-(A+2 E)=-2 E \\
& (A-E) (A+2 E)=-2 E \\
& {\left[-\frac{1}{2}(A-E)\right](A+2 E)=E } \\
\therefore & (A+2 E)^{-1}=\frac{1}{2}(A-E)
\end{aligned}
$$
(2)
设 $\lambda$ 是 $A$的特征值，$\alpha$是对应$\lambda$ 的特征向量
所以 $A \alpha = \lambda \alpha$
$A^2+A=0$
两边右边同乘以 $\alpha$

$$
\begin{aligned}
\therefore A^2 \alpha+A \alpha & =v \\
\lambda^2 \alpha+\lambda \alpha & =0 \\
\left(\lambda^2+\lambda\right) \alpha & =0
\end{aligned}
$$

因为 $ \alpha \neq 0$
所以 $ \lambda^2+\lambda =0 $
所以 $ \lambda=1$ 或者 $ \lambda=0$

①点击首页查看更多试卷和试题 , 点击查看本题所在试卷
② 下载本题Word版或下载本题PDF版点击赞助本站

关闭