2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\
a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\
a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3
\end{array}\right.
$$
无解，记
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}
d_1 \\
d_2 \\
d_3
\end{array}\right], \quad(\boldsymbol{X} \quad \boldsymbol{Y})
$$ 为分开矩阵，下列说法正确的是
①. $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有无穷多解
②. 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$
③. $R\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right)-R(\boldsymbol{A})=2$ 是可能成立的
④. 若 $\boldsymbol{A}$ 有且仅有两行成比例, 则该方程组所对应的平面的交线个数为 2 个。

$ \text{A.}$ ①④ $ \text{B.}$ ①②③ $ \text{C.}$ ①③ $ \text{D.}$ ②④

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我来讲解

答案：

解析：

(1)正确, 如果 $\boldsymbol{A}$ 可逆, 那么方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解, 不符合题意。
(2)错误, 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$, 于是 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$
于是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组是方程 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 但是由题意得 $\boldsymbol{b}$ 无法被 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性表示。
所以 $\boldsymbol{b}$ 一定不是 $A^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 也就是 $A^* b \neq \mathbf{0}$
(3)错误, 因为 $R(\boldsymbol{A}) < R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) \leqslant R(\boldsymbol{A})+R(\boldsymbol{b}) \leqslant R(\boldsymbol{A})+1$, 所以 $R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})=R(\boldsymbol{A})+1$ 。
(4)正确, 因为当 $\boldsymbol{A}$ 有且仅有两行成比例时, 所以对应到平面关系当中就是:
有且仅有两个平面是相互平行 (但不重合) 的, 并且第三个平面和这两个平面相交。
于是交线的个数为 2 个。所以本题选择 $\mathrm{A}$ 。

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