设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & -4 \\ -2 & -4 & 5-\lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -\lambda-1\end{array}\right)$, 已知非齐次线性方程组 $A x=b$ 存在两个 不同的解.
(1) 求 $\lambda$;
(2) 求方程组 $A x=b$ 的通解.
【答案】 解:(1)已知 $A x=b$ 存在两个不同的解, 则 $R(A)=R(A, b) < 3$.
$$
(A, b)=\left(\begin{array}{cccc}
2-\lambda & 2 & -2 & 1 \\
2 & 5-\lambda & -4 & 2 \\
-2 & -4 & 5-\lambda & -\lambda-1
\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cccc}
1 & \frac{5-\lambda}{2} & -2 & 1 \\
0 & 1-\lambda & 1-\lambda & 1-\lambda \\
0 & 0 & \frac{(1-\lambda)(10-\lambda)}{2} & \frac{(1-\lambda)(4-\lambda)}{2}
\end{array}\right) \text {, }
$$


$\left\{\begin{array}{l}\frac{(1-\lambda)(10-\lambda)}{2}=0 \\ \frac{(1-\lambda)(4-\lambda)}{2}=0\end{array}\right.$

解得$ \lambda=1$

(2) $(A, b)=\left(\begin{array}{cccc}2-\lambda & 2 & -2 & 1 \\ 2 & 5-\lambda & -4 & 2 \\ -2 & -4 & 5-\lambda & -\lambda-1\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

其对应的方程组为 $\left\{\begin{array}{l}x_1=
-2x_2+2x_3+1 \\ x_2=x_2 \\ x_3=x_3\end{array}\right.$
其通解为
$x=k_1\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$, 其中 $k_1, k_2$ 为任意常数.


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