设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值,对应的特征 向量依次为 $\alpha_1, \alpha_2$ ,则 $\alpha_1, \alpha_2$ 为两个线性无关的向量. 证明 $\alpha_1+\alpha_2$ 不是 $A$ 的特征向量.
【答案】 【参考证明】假设 $\alpha_1+\alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量,则存在 $\lambda$ , 使得 $A\left(\alpha_1+\alpha_2\right)=\lambda\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$.
由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 是特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 对应的特征向量,于是有
$$
A \alpha_1=\lambda_1 \alpha_1, A \alpha_2=\lambda_2 \alpha_2 \text { , }
$$
所以 $A\left(\alpha_1+\alpha_2\right)=\lambda_1 \alpha_1+\lambda_2 \alpha_2$. 由此可得
$$
\lambda\left(\alpha_1+\alpha_2\right)=\lambda_1 \alpha_1+\lambda_2 \alpha_2 .
$$
即 $\left(\lambda_1-\lambda\right) \alpha_1+\left(\lambda_2-\lambda\right) \alpha_2=0$. 因为 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关, 所以必有 $\lambda_1-\lambda=0, \lambda_2-\lambda=0$ ,即 $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ ,这与 已知条件 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值矛盾. 所以 $\alpha_1+\alpha_2$ 不是 $A$ 的特征向量.


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