题号:2782    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学三卷)
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 3 行的 $-1$ 倍加到第 2 行得 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right)$, 其中 $a$ 为常数, 则 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为
$A.$ $1,-1,2$. $B.$ $1,2,-2$. $C.$ $1,2,a$. $D.$ $1,-a,a$.
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答案:
C

解析:

记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{P}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. 又设 $\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right)$, 根据题意, 得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$, 且 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$, 所以 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{C}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似, 因而具有相同的特征值. 易知 $\boldsymbol{C}$ 的特征值为 $1,2, a$, 所以 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2, a$. 应选 $\mathrm{C}$.

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