设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+2 a x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 正定, 则 $a$ 的取值范围是
$ \text{A.} $ $-1 < a < 0$. $ \text{B.} $ $0 < a < 1$. $ \text{C.} $ $-\frac{4}{5} < a < 0$. $ \text{D.} $ $-\frac{4}{5} < a < 1$.
【答案】 C

【解析】 【解析】依题意, 二次型的矩阵为 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ a & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5\end{array}\right)$, 则顺序主子式为
$$
\left|A_1\right|=1 > 0,\left|A_2\right|=\left|\begin{array}{ll}
1 & a \\
a & 1
\end{array}\right|=1-a^2,\left|A_3\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & -1 \\
a & 1 & 2 \\
-1 & 2 & 5
\end{array}\right|=-5 a^2-4 a,
$$
因二次型正定, 则 $\left\{\begin{array}{l}1-a^2 > 0 \\ -5 a^2-4 a > 0\end{array}\right.$, 解得 $-\frac{4}{5} < a < 0$.
故应选 (C).
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