2022年西安电子科技大学《线性代数》期末考试-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知下列向量组
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-2,2,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(t, 0,1,2)^{\mathrm{T}} \text {, }
$$
（1）若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关, 求 $t$ 的值;
（2）若 $t=3$, 求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的一个极大无关组.

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答案：

解：（1）
$$
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & t \\
-2 & 2 & 0 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}\right]
$$

对A做如下变换，这一步很重要，能极大减少后期的运行，把t从首行移到尾行。
$$
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2 \\
-2 & 2 & 0 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & -2 & t
\end{array}\right]
$$
最终变换为
$$
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & t+1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

$\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 线性相关，所以 $ \therefore R(A) < 3 . $

$ \therefore t+1=0 $ , $ t=-1$

(2) 当 $t=3$ 时
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

$ \therefore R(A)=3 \quad \therefore \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 线性无关，所以 $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 是线性极大无关组。

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