已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)^2+\left(x_1-a x_2-2 x_3\right)^2$.
(I) 求方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形;
(III) 当 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 有非零解时, 确定常数 $a$, 使矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 并求
二次型 $g(x)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 在 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 下的最大值.
【答案】 【解】
( I ) $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1+x_3=0, \\ x_1+2 x_2+a x_3=0, \\ x_1-a x_2-2 x_3=0\end{array}\right.$
记齐次线性方程组的系数矩阵为 $B$, 则
$$
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & a \\
1 & -a & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & a-1 \\
0 & -a & -3
\end{array}\right) \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & a-1 \\
0 & 0 & (a-3)(a+2)
\end{array}\right),
$$
当 $a \neq 3$ 且 $a \neq-2$ 时, $r(\boldsymbol{B})=3$, 齐次线性方程组只有零解, 故方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解为 $\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}=(0,0,0)^{\mathrm{T}}$.
当 $a=3$ 或 $a=-2$ 时, $r(\boldsymbol{B})=2 < 3$, 齐次线性方程组有非零解,
当 $a=3$ 时, $\boldsymbol{B} \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$,
齐次线性方程组的通解为 $\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}=c(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ( $c$ 为任意常数), 故方程 $f\left(x_1, x_2\right.$, $\left.x_3\right)=0$ 的解为 $\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}=c(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ( $c$ 为任意常数).
当 $a=-2$ 时, $\boldsymbol{B} \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$,
齐次线性方程组的通解为 $\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}=c(-2,3,2)^{\mathrm{T}}$ ( $c$ 为任意常数), 故方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解为 $\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}=c(-2,3,2)^{\mathrm{T}}(c$ 为任意常数).
(II) 由 ( I) 知,当 $a \neq 3$ 且 $a \neq-2$ 时, $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 正定, 故 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $z_1^2+z_2^2$ $+z_3^2$.


当 $a=3$ 时, $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+\left(x_1+2 x_2+3 x_3\right)^2+\left(x_1-3 x_2-2 x_3\right)^2$ 由 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{C}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-3 & 1 & -2 \\ 1 & \lambda-13 & -12 \\ -2 & -12 & \lambda-14\end{array}\right|=\lambda\left(\lambda^2-30 \lambda+114\right)=0$, 得 $C$ 的特征值为 $0,15+\sqrt{111}, 15-\sqrt{111}$, 故 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $z_1^2+z_2^2$. 当 $a=-2$ 时, $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+2\left(x_1+2 x_2-2 x_3\right)^2$, 令 由于 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ \sqrt{2} & 2 \sqrt{2} & -2 \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=2 \sqrt{2} \neq 0$, 故上述变换是可逆线性变换, 因此, $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $z_1^2+z_2^2$.
(III) 由 ( I ) 知, 当 $a=3$ 时, 矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 由
$$
|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-3 & -1 & -2 \\
-1 & \lambda-3 & 2 \\
-2 & 2 & \lambda-9
\end{array}\right|=(\lambda-4)(\lambda-1)(\lambda-10),
$$
知 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,4,10$. 所以存在正交变换 $\boldsymbol{x}=Q \boldsymbol{y}$, 化二次型 $g(x)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 为标准形 $y_1^2+4 y_2^2+$ $10 y_3^2$.
当 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 时, $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=(\boldsymbol{Q y})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{Q y})=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\left(Q^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}\right) \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}=2$, 即当 $y_1^2+y_2^2+y_3^2=2$ 时,
当 $y_1=y_2=0, y_3=\sqrt{2}$, 即 $x=Q(0,0, \sqrt{2})^{\mathrm{T}}$ 时, 等号成立, 所以 $g(x)$ 的最大值为 20 .


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