2022年西安电子科技大学《线性代数》期末考试-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

用正交变换法化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2{ }^2+x_3^2-2 a x_1 x_3(a > 0)$
为标准形 $-y_1{ }^2+y_2{ }^2+b y_3{ }^2$, 求参数 $a$ 和 $b$, 并写出正交变换.

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答案：

解：由题意得
$ \lambda_1=-1, \lambda_2=1, \lambda_3=b $
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -a \\
0 & 1 & 0 \\
-a & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

$$
\begin{gathered}
\because \operatorname{tr}(A)=3=b \quad \therefore b=3 \\
\because|A|=\left|\begin{array}{cc}
1 & -a \\
-a & 1
\end{array}\right|=1-a^2=-3 \\
\therefore a^2=4 \quad a > 0 \quad \therefore a=2
\end{gathered}
$$

(1) 当 $ \lambda_1=-1$ 时，求 $ (A+E)x=0$
$$
(A+E)=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -2 \\
0 & 2 & 0 \\
-2 & 0 & 2
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
得
$$
p_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

(2) 当 $ \lambda_1=1$ 时，求 $ (A-E)x=0$

$$
A-E=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & 0
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
得
$
P_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right]
$

(3) 当 $ \lambda_3=3$ 时，求 $ (A-3E)x=0$

$$
A-3 E=\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & -2 \\
0 & -2 & 0 \\
-2 & 0 & -2
\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
得
$
P_3=\left[\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$

因为$P_1, P_2,P_3$ 正交，对其单位化
$$
\begin{aligned}
q_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], q_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], q_3=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right] \\
&
\end{aligned}
$$
最终得到 $ f=-y_1^2+y_2^2+3 y_3^2 $

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