设 $B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$, 求 $B$ 的特征值和特征向量.
【答案】 解: $B$ 的特征多项式为
$$
|B-\lambda E|=\left|\begin{array}{ccc}
1-\lambda & 0 & 0 \\
0 & 2-\lambda & 0 \\
0 & 1 & 2-\lambda
\end{array}\right|=(1-\lambda)(2-\lambda)^2=0 .
$$
故 $B$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=2$.


当 $\lambda_1=1$ 时, 解方程组 $(B-E) x=0$.
由 $B-E=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
得基础解系 $p_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$, 故 $k_1 p_1\left(k_1 \neq 0\right)$ 是 $\lambda_1=1$ 的全部特征向量.
当 $\lambda_2=\lambda_3=2$ 时, 解方程组 $(B-2 E) x=0$
由 $B-2 E=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
得基础解系 $p_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 故 $k_2 p_1\left(k_2 \neq 0\right)$ 是 $\lambda_2=\lambda_3=2$ 的全部特征向量.


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