2023年线性代数期末考试模拟考试试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

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题号:3887 题型:填空题来源:2023年线性代数期末考试模拟考试试卷入库日期 2023/1/6 8:09:45

设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,2, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 A^{-1}-E\right|=$

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【答案】 3

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设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续,在开区间 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 若三个正数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$, 证明: 存在三个互不相等的数 $\xi_i \in(0,1), i=1,2,3$, 使得 $$ \frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}+\frac{c}{f^{\prime}\left(\xi_3\right)}=1 . $$

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已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 a x_{2} x_{3}(a>0)$, 通过正交变换化成标准形$f=y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$, 求参数 $a$ 及所用的正交变换矩阵.