已知二次型
$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=4 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+8 x_2 x_3$.
(1)写出二次型 $f$ 的矩阵表达式 ;
(2)用正交变换把二次型 $f$ 化为标准型,并写出相应正交矩阵.
【答案】 【参考解析】 (1) $f$ 的矩阵表达式为
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1, x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{ccc}
0 & 2 & -2 \\
2 & 4 & 4 \\
-2 & 4 & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)
$$
(2) 二次型矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & 4 \\ -2 & 4 & -3\end{array}\right) , A$ 的特征方程为
$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda & -2 & 2 \\
-2 & \lambda-4 & -4 \\
2 & -4 & \lambda+3
\end{array}\right|=(\lambda-1)\left(\lambda^2-36\right)=0
$$
由此可得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=6, \lambda_3=-6$. 对应的 特征向量为

特征向量为
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
5 \\
2
\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
2
\end{array}\right) .
$$
对应的单位特征向量为
$$
\alpha_1^{\circ}=\left(\begin{array}{c}
\frac{2}{\sqrt{5}} \\
0 \\
\frac{-1}{\sqrt{5}}
\end{array}\right), \alpha_2^{\circ}=\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{30}} \\
\frac{5}{\sqrt{30}} \\
\frac{2}{\sqrt{30}}
\end{array}\right), \alpha_3^{\circ}=\left(\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{-1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}}
\end{array}\right) \text {. }
$$

所以可得正交矩阵为
$$
P=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{30}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & \frac{5}{\sqrt{30}} & \frac{-1}{\sqrt{6}} \\
\frac{-1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{30}} & \frac{2}{\sqrt{6}}
\end{array}\right)
$$
对二次型 $f$ 作正交变换,则二次型可以得到标准型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=y_1^2+6 y_2^2-6 y_3^2
$$


系统推荐