概率与统计选择题练习（五）-数学组卷-自助组卷

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概率与统计选择题练习（五）

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 设随机变量

X

与

Y

均服从

0 - 1

分布,

P (X = 1) = 0.7, P (Y = 1) = 0.8

, 且

P (X Y = 0) = 0.4

, 则

P (X = 0, Y = 0) =

A.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.4

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2. 设

(X, Y) \sim N (1, 2, 4, 4, - 0.5), U = X + Y, V = X - Y

, 若已知

(U, V)

是二维正态分布, 则下面正确的是

A.

X

与

Y

不相关

B.

U

与

V

线性相关

C.

U

与

V

独立

D.

V

与

X

线性负相关

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3. 设随机变量

X

和

Y

相互独立同分布, 若

P (X > 1) = p

, 则

P (max (X, Y) > 1) =

A.

p

B.

1 - (1 - p)^{2}

C.

(1 - p)^{2}

D.

p^{2}

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4. 设

X

为一随机变量,

E (X) = 1, D (X) = 0.1

, 则由切比雪夫不等式一定有

A.

P (| X - 1 | < 1) \geq 0.1

B.

P (0 < X < 2) \geq 0.9

C.

P (| X - 1 | \geq 1) \geq 0.9

D.

P (0 < X < 2) < 0.1

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5. 从总体

X \sim N (μ, σ^{2})

中抽取容量

n

的一个样本, 样本均值为

\bar{X}

, 样本方差为

S^{2}

, 下面错误的是

A.

E (\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}}) = n - 1

B.

D (S^{2}) = \frac{2 σ^{4}}{n}

C.

D ({(\frac{\bar{X} - μ}{σ / \sqrt{n}})}^{2}) = 2

D.

E (n S^{2}) = n σ^{2}

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6. 设总体

X \sim N (0, 1)

, 样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n > 1)

为来自该总体的简单随机样本,

\bar{X}

与

S

分别为样本均值和样本标准差, 则有

A.

\bar{X} \sim N (0, 1)

B.

n \bar{X} \sim N (0, 1)

C.

\frac{\sqrt{n} \bar{X}}{S} \sim t (n - 1)

D.

\frac{n \bar{X}}{S} \sim t (n - 1)

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7. 设总体

X

的均值及方差都存在, 从中抽取样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 3)

, 下面总体均值的最有效的无偏估计是

A.

(3 X_{1} + X_{2} + X_{3}) / 5

B.

(X_{1} + X_{2} + X_{3}) / 3

C.

(X_{1} + X_{2}) / 2

D.

X_{2}

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8. 从总体

X \sim N (μ, σ^{2})

(

μ, σ^{2}

均末知）中抽取容量

n

的一个样本, 样本均值为

\bar{X}

, 样本方差为

S^{2}

, 则

μ

的置信度为

90 %

的双侧置信区间是

A.

(\bar{X} \mp \frac{σ}{\sqrt{n}} z_{0.05})

B.

(\bar{X} \mp \frac{σ}{\sqrt{n}} z_{0.1})

C.

(\bar{X} \mp \frac{S}{\sqrt{n}} t_{0.05} (n - 1))

D.

(\bar{X} \mp \frac{S}{\sqrt{n}} t_{0.1} (n - 1))

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9. 设随机事件

A, B, C

两两独立, 且

P (A) = P (B) = \frac{1}{2}, P (C) = \frac{1}{3}, P (A B ∣ C) = \frac{1}{3}

, 则在

A

不发生的条件下

B

与

C

都发生的概率是

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{6}

D.

\frac{1}{9}

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10. 设二维随机变量

(X, Y) \sim N (0, 0; 1, 1; 0), U = a X + b Y, V = c X + d Y

, 其中

a, b, c, d

为实数, 则

(U, V) \sim N (0, 0; 1, 1; 0)

是

(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array})

为正交矩阵的

A.

充分必要条件

B.

充分非必要条件

C.

必要非充分条件

D.

非充分非必要条件

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11. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n > 1)

是来自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

的简单随机样本, 其中

μ

末知,

\bar{X}

是样本均值, 则以下四个选项中期望是

σ^{2}

的统计量的是

A.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

B.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - μ)}^{2}

C.

\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n - 1} {(X_{i + 1} - X_{i})}^{2}

D.

\frac{1}{2 (n - 1)} \sum_{i = 1}^{n - 1} {(X_{i + 1} - X_{i})}^{2}

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12. 一盒产品中有

a

只正品,

b

只次品, 有放回地任取两次, 第二次取到正品的概率为

A.

\frac{a - 1}{a + b - 1}

;

B.

\frac{a (a - 1)}{(a + b) (a + b - 1)}

C.

\frac{a}{a + b}

;

D.

(\frac{a}{a + b})^{2}

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13. 设随机变量

X

的概率密度为

p (x) = {\begin{cases} c 1 < x < 3 \\ 0, 其他 \end{cases}

则方差

D (X) =

A.

2

B.

\frac{1}{2}

;

C.

3

D.

\frac{1}{3}

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14. 设

A 、 B

为两个互不相容的随机事件, 且

P (B) > 0

, 则下列选项必然正确的是

A.

P (A) = 1 - P (B)

B.

P (A ∣ B) = 0

C.

P (A ∣ B) = 1

D.

P (\overset{―}{A B}) = 0

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15. 设

f (x) = \sin x

是某个连续型随机变量

X

的概率密度函数, 则

X

的取值范围是

A.

[0, \frac{π}{2}]

B.

[0, π]

C.

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

D.

[π, \frac{3 π}{2}]

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16. 设

X \sim N (μ, σ^{2}), Y = a X - b

, 其中

a 、 b

为常数, 且

a \neq 0

, 则

Y \sim

A.

N (a μ - b, a^{2} σ^{2} + b^{2})

;

B.

N (a μ + b, a^{2} σ^{2} - b^{2})

;

C.

N (a μ + b, a^{2} σ^{2})

D.

N (a μ - b, a^{2} σ^{2})

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17. 设

A, B

为两个事件并且

0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1

, 那么下列说法中不正确的是

A.

P (A ∣ B) > P (A ∣ \bar{B})

的充要条件是

P (A B) > P (A) P (B)

B.

若满足

P (A ∣ \bar{B}) = P (B ∣ \bar{A})

, 则

P (A) = P (B)

C.

若满足

P (A ∣ \bar{B}) = P (B ∣ \bar{A})

, 则

P (A) = P (B)

或者

P (A ⋃ B) = 1

D.

若

P (A ∣ \bar{B}) + P (\bar{A} ∣ B) = 1

, 则

A

和

B

独立。

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18. 设随机变量

X

的分布函数为

F_{X} (x) = {\begin{cases} 0, x < 3 \\ 0.8, 3 ⩽ x < 5 \\ 1, x ⩾ 5 \end{cases}

, 随机变量

Y

的分布函数为

F_{Y} (x) = {\begin{cases} 0, x < 5 \\ 0.2, 5 ⩽ x < 7 \\ 1, x ⩾ 7 \end{cases}

下列说法正确的是

A.

P (X + Y = 10) = 0.68

B.

若

X

与

Y

不相关, 则

X

与

Y

独立

C.

X + Y = 10

D.

P (X = 3, Y = 7) = 0.64

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19. 设

(X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

, 其中

σ_{1} > 0, σ_{2} > 0

, 则下列说法中正确的个数有（　　）个。
①. 令

{\begin{cases} U = \frac{X - μ_{1}}{σ_{1}} \\ V = \frac{Y - μ_{2}}{σ_{2}} \end{cases}

, 则

(U, V) \sim N (0, 0; 1, 1; ρ)

②. ①的条件下

E ((U - V)^{2}) = ρ

③. ①的条件下,

V = v

的条件下:

U \sim N (ρ v, 1 - ρ^{2})

④. ①的条件下, 若

ρ = 0

, 那么

E (U^{4} V^{4}) = 3

A.

B.

C.

D.

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20. 设某人每次射击命中的概率都为

p (0 < p < 1)

, 则他第 8 次射击恰好是第 4 次命中的概率为

A.

35 p^{3} (1 - p)^{4}

B.

35 p^{4} (1 - p)^{3}

C.

35 p^{4} (1 - p)^{4}

D.

35 p^{5} (1 - p)^{3}

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21. 设

X, Y

是两个随机变量,

E (X) = 2, E (Y) = - 1, D (X) = 9, D (Y) = 16

, 且

X, Y

的相关系数为

ρ = - \frac{1}{2}

, 已知由切比雪夫不等式可得

P {| X + Y - 1 | < 10} ⩾ k

, 则

k

的值等于

A.

\frac{9}{16}

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{21}{25}

D.

\frac{87}{100}

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22. 设总体

X

的概率分布如下

从总体中抽取

n

个简单随机样本,

N_{1}

表示

n

个样本中取到 -1 的个数,

N_{2}

表示

n

个样本中取到 0 的个数,

N_{3}

表示

n

个样本中取到 1 的个数, 则

N_{1}

与

N_{2}

的相关系数为

A.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

- 1

D.

1

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23. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

为从正态总体

N (0, σ^{2})

中抽取的一个简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值,

S^{2}

为样本方差, 令统计量

T = \frac{2 \bar{X}}{S}

, 若

P (T < - 1) = 0.15

, 则

P (0 < T < 1) =

A.

0.15

B.

0.25

C.

0.35

D.

0.45

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24. 设总体

X

的均值为

μ

, 标准差为

σ = 2

, 现抽样

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

, 是

X

的简单随机样本, 且

\bar{X}

是样本

X_{1}, \dots, X_{n}

的样本均值, 若要至少使得

99.7 %

的概率保证

| \bar{X} - μ | < 0.5

, 试利用中心极限定理, 估计出样本容量

n

应该不小于（）．(其中已知, 正态分布表

Φ (2.97) = 0.9985

)

A.

565

B.

142

C.

D.

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25. 对任意两个事件

A

和

B

, 有

p (A - B) =

A.

p (A) - P (B)

;

B.

p (A) - P (B) + P (A B)

;

C.

p (A) - p (A B)

D.

p (A) + P (\bar{B}) - P (\overset{―}{A \bar{B}})

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26. 设随机变量

X

与

Y

独立同分布, 且

p (X = - 1) = p (Y = - 1) = 0.5

p (X = 1) = p (Y = 1) = 0.5

, 则

A.

p (X = Y) = 0.5

B.

p (X = Y) = 1

C.

p (X + Y = 0) = 0.25

D.

p (X Y = 1) = 0.25

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27. 设

θ

为总体

X

的末知参数,

θ_{1}, θ_{2}

为统计量,

(θ_{1}, θ_{2})

为

θ

的置信度是

1 - α (0 < α < 1)

的置信区间, 则有

A.

p (θ_{1} < θ < θ_{2}) = α

B.

p (θ_{1} < θ < θ_{2}) = 1 - α

C.

p (θ < θ_{2}) = α

D.

p (θ_{1} < θ) = 1 - α

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28. 设

X \sim N (2, σ^{2})

. 且

p (2 < X < 4) = 0.3

, 则

p (X < 0) =

A.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.4

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29. 设

X_{1}, X_{2}

是来自总体

X

的样本, 作为

E X

的无偏估计中, 最有效的是

A.

\frac{3}{5} X_{1} + \frac{2}{5} X_{2}

B.

\frac{1}{4} X_{1} + \frac{3}{4} X_{2}

C.

\frac{1}{3} X_{1} + \frac{2}{3} X_{2}

D.

\frac{1}{2} X_{1} + \frac{1}{2} X_{2}

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30. 设随机变量

X_{1}

和

X_{2}

相互独立, 且均服从参数为

λ

的指数分布, 则下列随机变量中服从参数为

2 λ

的指数分布的是

A.

max (X_{1}, X_{2})

B.

min (X_{1}, X_{2})

C.

X_{1} + X_{2}

D.

X_{1} - X_{2}

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31. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是取自二项总体

B (5, \frac{1}{3})

的简单随机样本,

\bar{X} =

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

是其样本均值, 则

A.

Cov (X_{i}, \bar{X}) = \frac{5}{3 n}

B.

Cov (X_{i}, \bar{X}) = \frac{10}{9 n}

C.

D (X_{i} + \bar{X}) = \frac{5 (n + 2)}{3 n}

D.

D (X_{i} - \bar{X}) = \frac{10 (n + 2)}{9 n}

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32. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{cases} \sqrt{θ} x^{\sqrt{θ} - 1}, & 0 ⩽ x ⩽ 1, \\ 0, & 其他, \end{cases}

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

为总体

X

的一组样本观测值, 则末知参数

θ

的极大似然估计值

\hat{θ}

为

A.

\frac{n}{{(\sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i})}^{2}}

B.

\frac{n^{2}}{{(\sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i})}^{2}}

C.

\frac{n^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i}}

D.

\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \ln x_{i}}

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33. 设

A, B, C

足三个随机变量, 则事件 “

A, B, C

不多于一个发生” 的逆事件为

A.

A, B, C

都发生

B.

A, B, C

至少有一个发生

C.

A, B, C

都不发生

D.

A, B, C

至少有两个发生

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34. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x)

, 且满足

f (x) = f (- x), F (x)

为

X

的分布函数, 则对任意实数

a

, 下列式子中成立的是

A.

F (- a) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} f (x) d x

B.

F (- a) = 1 - \int_{0}^{a} f (x) d x

C.

F (a) = F (- a)

D.

F (- a) = 2 F (a) - 1

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35. 设随机变量

X, Y

相互独立,

F_{X} (x)

与

F_{Y} (y)

分别是

X

与

Y

的分布函数, 则随机变量

Z = max {X, Y}

分布函数

F_{Z} (z)

为

A.

max {F_{X} (z), F_{Y} (z)}

B.

F_{X} (z) + F_{Y} (z) - F_{X} (z) F_{Y} (z)

C.

F_{X} (z) F_{Y} (z)

D.

F_{X} (z)

或

F_{Y} (z)

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36. 设两个相互独立的随机变量

X

和

Y

分别服从正态分布

N (0, 1)

和

N (1, 1)

, 则

A.

P {X + Y \leq 0} = \frac{1}{2}

B.

P {X + Y \leq 1} = \frac{1}{2}

C.

P {X - Y \leq 0} = \frac{1}{2}

D.

P {X - Y \leq 1} = \frac{1}{2}

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37. 对任意两个随机变量

X

和

Y

, 若

E (X Y) = E (X) E (Y)

, 则

A.

X

和

Y

独立

B.

X

和

Y

不独立

C.

D (X Y) = D (X) D (Y)

D.

D (X + Y) = D (X) + D (Y)

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38. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 3)

为来自总体

X

的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望

μ

的无偏估计量的是

A.

\bar{X}

B.

0.1 \times (6 X_{1} + 4 X_{2})

C.

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

D.

X_{1} + X_{2} - X_{3}

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39. 设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = 0.4 Φ (2 x - 1) + 0.6 Φ (\frac{x - 1}{2})

, 则

E (X) =

A.

-0.4

B.

0.4

C.

-0.8

D.

0.8

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40. 下列命题中, 正确的是

A.

若随机变量

X, Y

服从标准正态分布, 则

X^{2} + Y^{2} \sim χ^{2} (2)

;

B.

若随机变量

X, Y

满足

P {X + Y = 10} = 1

, 则

ρ_{X Y} = - 1

;

C.

若随机变量

X \sim N (0, 3^{2}), Y \sim N (1, 4^{2})

, 则

X + Y \sim N (1, 5^{2})

;

D.

设随机变量

X, Y

存在数学期望, 则

X, Y

不相关的充要条件是

E (X Y) = E (X) E (Y)

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