一、单选题 （共 80 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 已知 $k \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量, 则 $k=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 n}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2(n-1)}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$
设总体 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=(-1)^n n+p\right\}=\frac{1}{n(n+1)}, n=1,2, \cdots$, 其中 $p$ 为未知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则 $p$ 的矩估计量 $\hat{p}=$
$\text{A.}$ $\bar{X}-\ln 2$.
$\text{B.}$ $\bar{X}+\ln 2$.
$\text{C.}$ $\bar{X}-\ln 2+1$.
$\text{D.}$ $\bar{X}+\ln 2-1$.
随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$, 概率密度为 $f(x), a$ 为常数, 则不能将概率密度设成
$\text{A.}$ $f(x+a)$.
$\text{B.}$ $a f(a x)$.
$\text{C.}$ $f(-x)$.
$\text{D.}$ $2 f(x) F(x)$.
将长度为 $1 \mathrm{~m}$ 的木棒随机地截成两段, 设第一段长度的 $\frac{1}{5}$ 为 $X$, 第二段长度的 $\frac{1}{7}$ 为 $Y$, 则 $X, Y$的相关系数 $\rho_{X Y}=$
$\text{A.}$ -1 .
$\text{B.}$ $-\frac{1}{35}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{35}$.
$\text{D.}$ 1
设随机变量 $X \sim U(0,3)$, 随机变量 $Y \sim \lambda(2)$, 且 $X, Y$ 的协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)=-1$, 则 $D(2 X-Y+1) $
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 独立同分布, 且 $X_1$ 的 4 阶矩存在, 记 $E\left(X_1^k\right)=\mu_k(k=1,2,3,4)$,则由切比雪夫不等式, 对任意由 $\varepsilon>0$ 有 $P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu_2\right| \geq \varepsilon\right\} \leq $.
$\text{A.}$ $ \frac{\mu_4-\mu_2^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\mu_4-\mu_2^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{n \varepsilon^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\mu_2-\mu_1^2}{\sqrt{n} \varepsilon^2}$
设 $X \sim N(0,1)$, 在 $X=x$ 的条件下, 随机变量 $Y \sim N(x, 1)$, 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{x y}$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
设 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$, 且 $P\{2 < X < 4\}=0.4$, 则 $P\{|X-2|>2\}=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设随机向量 $(X, Y)$ 的联合分布为 $P\{X=i, Y=j\}=\frac{\mathrm{C}_n^i}{2^{n+j}}(i=0,1, \cdots, n ; j=1,2, \cdots)$, 则 $E(X Y)=$
$\text{A.}$ $\frac{n}{2}$.
$\text{B.}$ $n$.
$\text{C.}$ $\frac{n}{2}+1$.
$\text{D.}$ $2 n$.
将一枚均匀的硬市独立地拖掷 100 次, 记正面次数为 $X$, 利用中心极限定理估计 $P\{40 \leqslant X \leqslant 60\} \approx$
$\text{A.}$ 0.5 .
$\text{B.}$ $1-\Phi(1)$.
$\text{C.}$ $\Phi(1)$.
$\text{D.}$ $2 \Phi(2)-1$.
对任意事件 $A, B$,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $P(A) P(B) \geqslant P(A \cup B) P(A B)$.
$\text{B.}$ $P(A)+P(B) \leqslant 2 P(A B)$.
$\text{C.}$ $P(A)+P(A B) \geqslant P(A \cup B)$.
$\text{D.}$ $P(A)+P(B) \leqslant P(A \cup B) P(A B)$.
设随机变量 $X \sim N(1,1), Y \sim N(-1,1)$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则下列结论不正确的是
$\text{A.}$ $(X, Y)$ 服从二维正态分布.
$\text{B.}$ $2 X+Y$ 服从正态分布.
$\text{C.}$ $P\{2 X+Y>1\}=\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $2 X+Y$ 与 $X+2 Y$ 相互独立.
从装有 2 只红球, 2 只白球的袋中任取两球, 记 $A=$ “取到 2 只白球”, 则 $\bar{A}=$
$\text{A.}$ 取到 2 只红球
$\text{B.}$ 取到 1 只白球
$\text{C.}$ 没有取到白球
$\text{D.}$ 至少取到 1 只红球
对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为
$\text{A.}$ 随机事件
$\text{B.}$ 必然事件
$\text{C.}$ 不可能事件
$\text{D.}$ 样本空间
设 $A 、 B$ 为随机事件, 则 $(A B+A \bar{B})(A+\bar{A} \bar{B})=$
$\text{A.}$ $A$
$\text{B.}$ $B$
$\text{C.}$ $A B$
$\text{D.}$ $\Phi$
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个概率不为零的互斥事件, 则下列结论中肯定正确的是
$\text{A.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 互斥
$\text{B.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 不互斥
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A-B)=P(A)$
设 $A, B$ 为两随机事件, 且 $B \subset A$, 则下列式子正确的是
$\text{A.}$ $P(A \cup B)=P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(B)$
$\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{D.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
设 $A, B, C$ 相互独立$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3} \text {, 则 } P(A \cup B \cup C)= $
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{19}{27}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{27}$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, 且有 $A \supset B, A \supset C, P(A)=0.9, P(\bar{B} \cup \bar{C})=0.8$, 则 $P(A-B C)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.6
$\text{C.}$ 0.7
$\text{D.}$ 0.8
进行一系列独立的试验, 每次试验成功的概率为 $p$, 则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为
$\text{A.}$ $p^2(1-p)^3$
$\text{B.}$ $4 p(1-p)^3$
$\text{C.}$ $5 p^2(1-p)^3$
$\text{D.}$ $4 p^2(1-p)^3$
设 $A 、B$ 为两随机事件, 且 $B \subset A$, 则下列式子正确的是
$\text{A.}$ $ P(A \cup B)=P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(B)$
$\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{D.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
设事件 $A$ 与 $B$ 同时发生时, 事件 $C$ 一定发生, 则
$\text{A.}$ $P(A B)=P(C)$
$\text{B.}$ $P(A)+P(B)-P(C) \leqslant 1$
$\text{C.}$ $P(A)+P(B)-P(C) \geqslant 1$
$\text{D.}$ $P(A)+P(B) \leqslant P(C)$
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别是两个随机变量的分布函数, 为使 $F(x)=a F_1(x)-b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取
$\text{A.}$ $a=\frac{2}{3}, \quad b=\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, \quad b=\frac{3}{2}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
p(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A \cos x & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
则 $ A=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ 0
下列函数为随机变量分布密度的是
$\text{A.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < \frac{3 \pi}{2} \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $p(x)=\left\{\begin{array}{lc}\sin x, & 0 < x < \pi \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < 2 \pi \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
下列函数为随机变量分布密度的是
$\text{A.}$ $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2+x}{2}}$
$\text{B.}$ $p(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-(2 x+1)^2}$
$\text{C.}$ $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2}}$
$\text{D.}$ $p(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2-1}{4}}$
设随机变量 $X$ 的摡率密度为 $p(x), Y=-X$, 则 $Y$ 的概率密度为
$\text{A.}$ $-p(y)$
$\text{B.}$ $1-p(-y)$
$\text{C.}$ $p(-y)$
$\text{D.}$ $p(y)$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$, 则
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
设 $X$ 服从 $N(0,4)$, 则 $E[X(X-2)]=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 1
设随机变量$X$ 的分布密度为 $\varphi(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2}{4}}(-\infty < x < +\infty)$ ，则$DX=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $1 / 2$
$\text{D.}$ 4
对随机变量 $X$ 来说, 如果 $E X \neq D X$, 则可断定 $X$ 不服从
$\text{A.}$ 二项分布
$\text{B.}$ 指数分布
$\text{C.}$ 正态分布
$\text{D.}$ 泊松分布
设 $X$ 为服从正态分布 $N(-1,2)$ 的随机变量, 则 $E(2 X-1)=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 3
已知 $P(A)=P(B)=\frac{2}{3}$, 又设 $I=P(A \mid B)+P(B \mid A)$, 则 $I$ 的最大可能取值 $I_1$ 和最小可能取值 $I_2$ 之差为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1
假设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其样本均值为 $\bar{X}$, 如果 $P\{|X-\mu| < a\}=P\{|\bar{X}-\mu| < b\}$, 其中 $\sigma>0$, 则有
$\text{A.}$ $a=n b$.
$\text{B.}$ $b=n a$.
$\text{C.}$ $a=\sqrt{n} b$.
$\text{D.}$ $b=\sqrt{n} a$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $D\left(\bar{X}^2\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{n^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{n^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{n^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{n^2}$.
设 $A, B$ 为两个随机事件, $0 < P(A)=p < 1,0 < P(B)=q < 1$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B) \leqslant \frac{p}{q}$.
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \mid B) \leqslant \frac{P}{q}$.
$\text{C.}$ $P(A \mid B) \geqslant 1+\frac{p-1}{q}$.
$\text{D.}$ $P(\bar{A} \mid B) \geqslant 1-\frac{P}{q}$.
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1), Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$, 数 $u_\alpha$满足 $P\left\{Y>u_a\right\}=\alpha$. 若 $P\{|X| < x\}=\alpha$, 则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{a}{2}}$.
$\text{B.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}\left(u_{\frac{\alpha}{2}}-1\right)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}\left(u_{\frac{1-\alpha}{2}}-1\right)$.
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布, 其中 $X_i(i=1,2, \cdots)$ 服从参数为 $2, \frac{1}{2}$ 的二项分布 $B\left(2, \frac{1}{2}\right)$. 若当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$ 依概率收敛于 $a_k(k=1,2,3)$, 则 $a_1+a_2+a_3=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 7
当 ( )成立时, 随机事件 $A, B, C$ 相互独立.
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A-B)=1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(C-A)=0$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(A \cup B)=1$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(A B C)=\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(C)$
设 $Y_1, Y_2, Y_3$ 是来自总体 $Y \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-p & p\end{array}\right)(0 < p < 1)$ 的简单随机样本, 令
$$
X_k=\left\{\begin{array}{ll}
1, & Y_1+Y_2+Y_3=k \\
0, & Y_1+Y_2+Y_3 \neq k
\end{array}(k=1,2),\right.
$$
则 $\mathrm{P}\left\{X_1+X_2=1\right\}= $.
$\text{A.}$ $3 p^2+3(1-p)^2$
$\text{B.}$ $3 p(1-p)$
$\text{C.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)$